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祝春兰(湖南省武冈十中 422400)
数学直觉是学生运用已有的数学知识解析思虑面对的数学问题后, 思想模糊
发散、转变,超越式接通,进而得出问题的某个结论的思想方式。这种不严实的
直觉思想不是痴人说梦,应激励和培养,由于大量的事实证明,直觉思想能力强
的人经常有较强的创新、创立能力。那么,如何在数学课堂数学中培养学生的直
觉思想呢?本文拟结合中学数学授课实践,介绍这方面的一些做法或领悟。
一、创立猜想情境,加强直觉意识
回想十余年的中小学学****过程,总感觉自己从小学的敢于奇想天开到中学的崇尚严实的逻辑思想,直觉意识在不断减弱,直觉思想没有获取应有的发展。现行数学新教材十分重视培养直觉思想,增加了好多供学生研究的素材,真令人快乐。因此,我们数学教师必定改变传统的授课模式、看法,灵便、创立性地使用
好教材。还可依照授课实质,合适地增加一些培养直觉思想的学****素材,以丰富课堂授课。
深入挖掘教材中各知识点的产生背景、发展过程、相互联系等,能从中挖掘出好多幽默的能惹起直觉思想的内容,借此创立猜想情境,引导学生用试验、观察、归纳、类比、联想、审美等方法,多角度、多层次地思虑问题,充发散挥直
觉思想的导向作用去研究问题。这是使学生品尝研究的辛酸,享受成功的欢乐,不断感觉猜想的威力,进而加强直觉意识,激发研究兴趣,激活创立思想的一条好路子。
在球面面积公式的研究性学****中,我设置了圆与圆锥这两个比较图形,如图。
先让学生观察比较图中三个几何图形。
易知圆的面积为 πR2,圆锥的侧
面积为 2πR2,那么半径为R的半球
面面积是多少?
由图看出:πR2< 2πR2<S半球面,联想到等差数列会想到:S半球面=(2 2-1)
πR2?或
S半球面=
3πR2?由于表达式繁琐,这两个结果可能不正确。此时,学
生又马上会由公比为
2的等比数列直觉到:πR2<
2πR2<2πR2,于是猜想:
S半球面=2πR2,S
球面=4πR2,学生会有疑虑:球面面积果真是
4πR2吗?进而转
入探证
S球面=4πR2。
凭观察比较得出自己先算不出的正确结果,是给学生极好的奖赏,会给每个学生注入证明猜想的动力。在困难地研究证明后,学生们都为现实世界的事物与数学王国的数式竟有这样巧妙的联系而赞叹不己,同时领悟到数学的“序次”美和数学的奇异,进而大大激发了其研究的兴趣。兴趣促使学生对球的体积也进行
了研究,当出示半径为R的半球图形后,学生马上联想到了底面半径和高均是
R
的圆锥体和圆柱体,并将三个几体体画在一起比较。由
V
1
3
,V
=π
圆锥
=
πR
圆柱
3
R3,及1πR3<V半球<3
πR3,学生马上猜想V半球=2
πR3,且由V半球=V圆柱—V
3
3
3
圆椎获取了证明方法。
这样不断地让学生进行由形到形,形到数,数到数,数到形的直觉联想、猜想且能得出正确的结论的授课,加强了其内心那种想从已知高出细微步骤直觉结果的意识,激发研究的兴趣,提升研究猜想的能力。
二、恩赐研究空间,拓展直觉思路
直觉猜想是建立在牢固的基础知识、基本技术之上的,如知道圆的面积和圆锥的侧面积是基础。缺乏基本知识及其联系的学生,一般很难正确、全面地利用题给信息去联想相关或周边的知识点。他们连直觉联想的起点和指向目标都没
有,哪还能够做出什么正确猜想,更谈不上灵便地解决问题。在平时的数学授课中,在侧重基本知识的同时,应注意把一些思想性强,解法灵便的题引入课堂,创立民主气氛,恩赐研究的时间和空间,让每位学生都有机遇充分显现自己的思想,
侧重加强以直觉领路的研究一题多解的训练,注意指惹起掘其题设中的隐含条件以惹起奇思妙想,这既有利于牢固基本知识,加强知识间的联系,又有利于拓展直觉思路,优化直觉思想质量,可达到知识和能力双丰收。
sinx
如“求函数 y= 的最大值”,凭经验,显然很难将其转变为求正弦型
sinx
3
函数y=Asin(wx+
)+
最值的问题,但由其分子、分母只含
sinx,易得出以下
两种解法:
解法1
(拆),y=1—
3
,ymax
—3
1。
sinx
3
=1
=
4
4
解法2
(减sinx个数),当sinx=0时,y=0;当sinx≠0时,
Y=
1
,进而ymax=
1
=1。
3
1
3
4
1
sinx
至此为止,则很难全面牢固相关知识,提升思想能力。由
sinx的值域去探
索,易直觉到函数的另一种形式,于是有
解法3
(用sinx值域)将原函数变为sinx=
3y(y≠1)
y
1
解不等式—1≤
3y≤1,得—1≤y≤1,ymax=1。
y
1
2
4
4
由函数的结构特点研究,可联想到函数y=
t
及斜率公式k=y1
y2,又会
t3
x1
x2
得以下两种巧妙解法,进而加深了三角与代数、解析几何知识间的联系。
解法4
设sinx=t,则y=f(t)=
t
t
,t∈[-1,1],易得ymax=f(1)=
1。
3
4
解法5
(数形结合)函数y=
sinx
0
表示在以点(-1,-1),B(1,1)
sinx
(3)
为端点的线段AB上的点(sinx,sinx)与点P(-3,0)的连线的斜率。
显然,ymax
=K
PB
1。
=
4
显然以上几种解法都以直觉思想为先导,因直觉思想的触发点不同样,而解法各异。认真弄清各种解法的思想触发点,比较转变问题的不同样路子,最后对用到的各种知识加以总结,这可进一步优化认知结构,提升直觉思想的灵便性、发散性、广阔性。
三、反思思想疑点,提升直觉能力
解题后引导学生对解题过程中的疑点,特别是对其中的直觉思想活动进行深刻反思十分必要。经过反思,能够使学生明确触发解题思路的直觉思想点,使先前思想跃过的每一步变得清楚、详尽,模糊的思想表象会显化成实线连珠式的思想图象,促使学生去思虑近似相关问题,以研究总结一般方法,这有利于提升直觉思想能力及解题能力。
如题:已知对于R中的任意X1、X2,函数f(x)都满足
F(x1+x2)=f(x1) 1 f2(x2)+f(x2) 1 f2(x1),且f(a)=1,a为正常数,求
证f(x)是周期函数。
解析谈论后,可得以下证明。
证明:由于f(x+2a)=f[(x+a)+a]=|f(x)|,
(1)当f(x+2a)=f(x)时,有f(x+4a)=f(x+2a)=f(x),(2)当f(x+2a)=-f(x)时,有f(x+4a)=-f(x+2a)=f(x),
因此,对于任意x∈R,a>0,恒有f(x+4a)=f(x),
故f(x)是周期为4a的周期函数。
至此,也许大多数学生对其中如何由题设得出周期4a存有疑虑,因此,很
难解决近似的问题。解题后有必要引导学生对这一疑点进行反思、谈论。否则,学生会失去一次提升直觉思想能力的绝好机遇,今后用双倍的时间也许很难填充。为此,我引导学生进行以下反思。
反思1:你是怎么想到周期 4a的呢?
下面是我班两个学生反思此后对此问题的回答。
生1:初看此题,无从下手。为解此题,我的思想从式的数字、符号、结构特点出发流向每一个相关或相似的知识点,几经思虑,终于由等式的结构特点联
想到两角和的正弦公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ及sin2α+cos2α=1。
进而想到正弦函数 y=sinx,最小正周期T=2π,sin =1,比较f(a)=1,于是
2
凭直觉猜想f(x)的一个周期为4a。
生2:用这样的方法得出周期4a,真是巧妙有效,我原来还以为“4a”是从天上掉下来的。
这足以看出经过反思后,中小学生这素来觉思想的清楚程度。至此,一学生提出以下问题。
反思2:这种方法可否可解其他抽象函数问题呢?
这个问题我留给学生课后思虑。好多学生用课余时间查资料,把以正弦、余弦、正切、余切函数为原形的抽象函数问题找了出来,且一一解答。进而得出用
直觉思想研究周期的一般方法,达到贯穿交融,触类旁通的收效。
经过以上反思,使学生发现沟通抽象与详尽,一般与特其他竟是易被忽视的直觉思想、类比联想,进一步领悟到由结构类比联想、猜想在解题中的重要性。
今后他们也会英勇地借助直觉思想熟练地从抽象到详尽、 从详尽到抽象、从已知
到未知,致使从幼儿时的敢于奇想天开到成年时的善于别出心裁、勇于创立。