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高考数学总复****第八章第6课时知能演练+轻松闯关文
,n为不同的直线,α,β
①Error!⇒n∥m;②Error!⇒β∥α;
③Error!⇒m∥n.
其中正确的选项是( )
A.②③ B.①③
C.①②D.①②③
①①正确;
②显然成立;
③的结论中,应为m∥n或m与n相交或m与n③错误.
2.(·高考辽宁卷)
1
如图,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
2
(1)证明:PQ⊥平面DCQ;
(2)求棱锥Q­ABCD的体积与棱锥P­DCQ的体积的比值.
解:(1)证明:由条件知四边形PDAQ为直角梯形.
因为QA⊥平面ABCD,
所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD.
又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD.
所以DC⊥平面PDAQ,可得PQ⊥DC.
2
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,那么PQ⊥QD.
2
又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.
(2)设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q­ABCD的高,
1
所以棱锥Q­ABCD的体积V=a3.
13
由(1)知PQ为棱锥P­DCQ的高,
2
而PQ=2a,△DCQ的面积为a2,
2
1
所以棱锥P­DCQ的体积V=a3.
23
故棱锥Q­ABCD的体积与棱锥P­DCQ的体积的比值为1.
3.
如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC,
(1)求证:BE∥平面PDA;
(2)假设N为线段PB的中点,求证:NE⊥平面PDB.
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高考数学总复****第八章第6课时知能演练
证明:(1)∵EC∥PD,PD⊂平面PDA,EC⊄平面PDA,
∴EC∥平面PDA.
同理可得BC∥平面PDA.
∵EC⊂平面EBC,BC⊂平面EBC且EC∩BC=C,
∴平面EBC∥平面PDA.
又∵BE⊂平面EBC,
∴BE∥平面PDA.
(2)连接AC,与BD交于点F,连接NF,
∵F为BD的中点,
1
∴NF∥PD且NF=PD,
2
1
又EC∥PD且EC=PD.
2
∴NF∥EC且NF=EC.
∴四边形NFCE为平行四边形.∴NE∥FC.
∵PD⊥平面ABCD,
AC⊂面ABCD,∴AC⊥PD.
又DB⊥AC,PD∩BD=D,
∴AC⊥面PBD.∴NE⊥面PDB.
一、选择题
,β,γ之间有α⊥γ,β⊥γ,那么α与β( )
解析:,应选D.
,点A∉α,l为过点A的一条动直线,那么以下情形可能
出现的是( )
∥m,l⊥⊥m,l⊥α
⊥m,l∥∥m,l∥α
m在平面α内的射影为n,当l⊥n且与α无公共点时,l⊥m,l∥α.
-A′B′C′D′中,E为A′C′的中点,那么直线CE垂直于( )
′C′
′D′′
解析:
B′D′,
∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,且A′C′∩CC′=C′,
∴B′D′⊥平面CC′⊂平面CC′E,
∴B′D′⊥CE.
又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE.
4.(·威海质检)设m、n是两条不同的直线,α、β
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∥n,m∥α,那么n∥α
⊥β,m∥α,那么m⊥β
⊥β,m⊥β,那么m∥α
⊥n,m⊥α,n⊥β,那么α⊥β
解析:、B、
证明α、.
5.
如图,△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在
平面,那么( )
=PB>PC
=PB<PC
=PB=PC
≠PB≠PC
解析:选C.∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,∴BM=AM=CM,又PM⊥平面
ABC,∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.
二、填空题
、b是两条不重合的直线,α、β、γ
①假设a⊥α,a⊥β,那么α∥β;
②假设α⊥γ,β⊥γ,那么α∥β;
③假设α∥β,a⊂α,b⊂β,那么a∥b;
④假设α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,那么a∥b.
解析:垂直于同一直线的两平面平行,①正确;α⊥β也成立,②错;a、b也可异
面,③错;由面面平行性质知,a∥b,④正确.
答案:①④
7.
如下图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动
点,当点M满足__________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即
可)
解析:由定理可知,BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,
而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
答案:DM⊥PC(或BM⊥PC等)
8.
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如下图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,过A点作平面A1BD的垂线,垂足为点H
①点H是△A1BD的中心;
②AH垂直于平面CB1D1;
③AC1与B1C所成的角是90°.
解析:由于ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以A-A1BD是一个正三棱锥,因此A点在平
面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心,故①正确;又因为平面CB1D1与平面A1BD平
行,所以AH⊥平面CB1D1,故②正确;从而可得AC1⊥平面CB1D1,即AC1与B1C垂直,所成
的角等于90°.
答案:①②③
三、解答题
9.(·高考江苏卷)
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别
是AP,AD的中点.
求证:(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明:
(1)如图,在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥⊄平
面PCD,PD⊂平面PCD,
所以直线EF∥平面PCD.
(2)=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形.
因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.
又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
10.(·高考浙江卷)
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如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段
AD上.
(1)证明:AP⊥BC;
(2)BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角B-AP-C的大小.
解:(1)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得AD⊥BC.
又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC.
因为PO∩AD=O,所以BC⊥平面PAD,故BC⊥PA.
(2)如图,在平面PAB内作BM⊥PA于M,连CM.
因为BC⊥PA,得PA⊥平面BMC,
所以AP⊥CM.
故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角.
在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB=.41
在Rt△POD中,PD2=PO2+OD2,
在Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2,
所以PB2=PO2+OD2+BD2=36,得PB=6.
在Rt△POA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5.
PA2+PB2-AB2122
又cos∠BPA==,从而sin∠BPA=.
2PA·PB33
故BM=PBsin∠BPA=42.
同理CM=42.
因为BM2+MC2=BC2,所以∠BMC=90°,
即二面角B-AP-C的大小为90°.
11.(探究选做)
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=3,
点F是PB的中点,点E在边BC上移动.
(1)点E为BC的中点时,;
(2)证明:无论点E在BC边的何处,都有PE⊥AF.
解:(1)当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行.
∵在△PBC中,E、F分别为BC、PB的中点,
∴EF∥PC,又EF⊄平面PAC,而PC⊂平面PAC,
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∴EF∥平面PAC.
(2)证明:∵PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,
∴EB⊥⊥AB,AB∩AP=A,
AB,AP⊂平面PAB,
∴EB⊥平面PAB,又AF⊂平面PAB,∴AF⊥BE.
又PA=AB=1,点F是PB的中点,∴AF⊥PB.
又∵PB∩BE=B,PB、BE⊂平面PBE,
∴AF⊥平面PBE.
∵PE⊂平面PBE,∴AF⊥PE.
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