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高考数学编
高考数学试题分类汇编
函数与导数
:
1.〔全国一1〕函数的定义域为〔C〕yx(x1)x
.x|x≥0x|x≥1
.x|x≥10x|0≤x≤1
2.〔全国一2〕汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,假设把这一过
程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是〔A〕st
ssss
OtOtOtOt
.
3.〔全国一6〕假设函数的图像与函数的图像关于直线对yf(x1)ylnx1yx
称,那么〔B〕f(x)
2x12x2x12x2

x1
4.〔全国一7〕设曲线在点处的切线与直线垂直,那么〔y(3,2)axy10a
x1
D〕
11
.2
22
5.〔全国一9〕设奇函数在上为增函数,且,那么不等式f(x)(0,)f(1)0
f(x)f(x)
0的解集为〔D〕
x
.(1,0)(1,)(,1)(0,1)
.(,1)(1,)(1,0)(0,1)
1
6.〔全国二3〕函数的图像关于〔C〕f(x)x
x
x
x
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8.〔全国二4〕假设,那么〔C〕x(e1,1),alnx,b2lnx,cln3x
A.<<B.<<C.<<D.<<abccabbacbca

9.〔北京卷2〕假设,,,那么〔A〕a2blogπ3clog2sin
5
bcbaccabbca
10.〔北京卷3〕““函数在上为增函数〞的〔函数存在反函数〞是f(x)(xR)f(x)R
B〕

11.〔四川卷10〕设,其中,那么是偶函数的充要条件fxsinx0fx
是(D)
''
〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕f01f00f01f00
12.〔四川卷11〕设定义在上的函数满足,假设,Rfxfxfx213f12
那么(C)f99
132
〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕132
213
13.〔天津卷3〕函数〔〕的反函数是Ay1x0x4
22
〔A〕〔〕〔B〕〔〕y(x1)1x3y(x1)0x4
22
〔C〕〔〕〔D〕〔〕yx11x3yx10x4
14.〔天津卷10〕设,假设对于任意的,都有满足方程a1x[a,2a]y[a,a2]
logaxlogay3,这时的取值集合为Ba
〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕{a|1a2}{a|a2}{a|2a3}{2,3}
2
15.〔安徽卷7〕是方程至少有一个负数根的〔B〕a0ax2x10

16.〔安徽卷9〕在同一平面直角坐标系中,函数的图象与的图象关于直yg(x)yex
线对称。而函数的图象与的图象关于轴对称,假设yxyf(x)yg(x)yf(m)1
,那么的值是〔B〕m
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11
.ee
ee
17.〔安徽卷11〕假设函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足f(x),g(x)R
x
f(x)g(x)e,那么有〔D〕
(2)f(3)g(0)g(0)f(3)f(2)
(2)g(0)f(3)g(0)f(2)f(3)
π
18.〔山东卷3〕函数y=lncosx(-<x<的图象是A)
22
19.〔山东卷4〕设函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,那么a的值为
A
(A)3(B)2(C)1(D)-1
11
20.〔江西卷3〕假设函数的值域是,那么函数的值yf(x)[,3]F(x)f(x)
2f(x)
域是B
11051010
.[,3][2,][,][3,]
23233
3
21.〔江西卷6〕函数在区间内的图象是Dytanxsinxtanxsinx(,)
22
yyyy
33
2222
oxox
2-2-
2-2-
o3xo3x
2222
ABCD
22.〔江西卷12〕函数,,假设对于任一实数,f(x)2mx22(4m)x1g(x)mxx
f(x)与至少有一个为正数,那么实数的取值范围是Bg(x)m
.(0,2)(0,8)(2,8)(,0)
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122
23.〔湖北卷4〕函数的定义域为Df(x)ln(x3x2x3x4)
x
.(,4][2,)(4,0)()
C. D.[-4,0)( 0,1][4,0)(0,1)
12
24.〔湖北卷7〕假设上是减函数,那么的取值范f(x)xbln(x2)在(-1,+)b
2
围是C
.[1,)(1,)(,1](,1)
22
25.〔湖北卷13〕函数,,其中,为常f(x)x2xaf(bx)9x6x2xRa,b
数,(axb)0
5
26.〔湖南卷10〕设[x]表示不超过x的最大整数〔如[2]=2,[]=1〕,对于给定的
4
*xn(n1)(nx1)3x
nN,定义Cn,x1,,那么当x,3时,函数的值Cn
x(x1)(xx1)2
域是(D)
1616
.,28,56
33
281628
.4,28,564,,28
333
27.〔陕西卷7〕函数,是的反函数,假设〔f(x)2x3f1(x)f(x)mn16m,nR+
〕,那么的值为〔A〕f1(m)f1(n)
2
28.〔陕西卷11〕定义在上的函数满足〔Rf(x)f(xy)f(x)f(y)2xy
x,yR〕,,那么等于〔C〕f(1)2f(3)

m
29.〔重庆卷4)函数y=的最大值为1xx3M,最小值为m,那么的值为C
M
1123
(A)(B)(C)(D)
4222
30.〔重庆卷6)假设定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2R有
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f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,那么以下说法一定正确的选项是C
(A)f(x)为奇函数〔B〕f(x)为偶函数
(C)f(x)+1D〕为奇函数〔f(x)+1为偶函数
31.〔福建卷4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR),假设f(a)=2,那么f(-a)的值为B

32.〔福建卷12)函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如以下图,那么y=f(x),y=g(x)的图
象可能是D
33.〔广东卷7〕设,假设函数,有大于零的极值点,那么〔aRyeax3xxR
B〕
11
3a3aa
33
34.〔辽宁卷6〕设P为曲线C:上的点,且曲线yx22x3C在点P处切线倾斜角的

取值范围为,那么点0,P横坐标的取值范围为〔A〕
4
11
.1,1,00,1,1
22
35.〔辽宁卷12〕设是连续的偶函数,且当f(x)x>0f(x时是单调函数,那么满足)
x3
f(x)f的所有x之和为〔C〕
x4
.3388
:
1.〔上海卷4〕假设函数f(x)的反函数为f-1(x)=x2〔x>0〕,那么f(4)=2
2.〔上海卷8〕设函数f(x)是定义在R上的奇函数,假设当x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,
那么满足f(x)>0的x的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞)
21
3.〔上海卷11〕方程x+2x-1=0的解可视为函数y=x+2的图像与函数y=的图像交
x
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44
点的横坐标,假设x+ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk(k≤4)所对应的点(xi,)〔ii
x
=1,2,…,k〕均在直线y=x的同侧,那么实数a的取值范围是(-∞,6)∪(6,+-
∞);
4.〔全国二14〕设曲线在点处的切线与直线垂直,那么yeax(0,1)x2y10a
.2
y
5.〔北京卷12〕如图,函数的图象是折线段,其中f(x)ABC
A
4C
3
A,B,C的坐标分别为,那么(0,4),(2,0),(6,4)f(f(0))
2
1
f(1x)f(1)B
2;-2.〔用数字作答〕limO123456x
x0x
2ππ
6.〔北京卷13〕函数,对于上的任意,有如下条件:f(x)xcosx,x1,x2
22
①;②;③.其中能使恒成立的条件序号是xxx2x2xxf(x)f(x)
12121212
②.
k棵树种植在点处,其中,,当时,Pk(xk,yk)x11y11k≥2
k1k2
xkxk115TT,
55
T(a)表示非负实数的整数局部,例如a
k1k2
ykyk1TT.
55
T()2,.按此方案,第6;第棵树种植点棵树种植点的坐标应为T()0(1,2)
的坐标应为.(3,402)
x21
8.〔安徽卷13.〕函数的定义域为f(x)[3,)
log2(x1)
1
9.〔江苏卷8〕直线是曲线的一条切线,那么实数byxbylnxx0
2
=.ln2-1.
10.〔江苏卷14〕fxax33x1对于总有≥0成立,那么x1,1fxa

=.4
11.〔湖南卷13〕设函数存在反函数,且函数的图象过yf(x)yf1(x)yxf(x)
点(1,2),那么函数的图象一定过点.(-1,2)yf1(x)x
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3ax
12.〔湖南卷14〕函数f(x)(a1).
a1
3
〔1〕假设a>0,那么的定义域是;f(x),
a
(2)假设在区间上是减函数,那么实数f(x)0,1a的取值范围是.
,01,3
14
13.〔重庆卷13)(a>0),loga
2
93
14.〔浙江卷15〕t[0,3]上的最大值为2,那么为常数,函数在区间yx22xt
t=___。1
x1,x0,x1,x1,
15.〔辽宁卷13〕xy
e,x≥0lnx,x≥1.
:
.〔本小题总分值1.〔全国一19〕12分〕
〔注意:在试题卷上作答无效〕
函数,.f(x)x3ax2x1aR
〔Ⅰ〕讨论函数的单调区间;f(x)
21
〔Ⅱ〕设函数在区间内是减函数,(x),a
33
解:〔1〕求导:f(x)x3ax2x1f(x)3x22ax1
2
当时,,,在上递增a≤3≤0f(x)≥0f(x)R
aa23
当,求得两根为a23f(x)0x
3
222
aa3aa3aa3
即在递增,递减,f(x),,
333

2
aa3
,递增
3

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aa232
≤
3327
〔2〕,且解得:a3a≥
24
aa31
≥
33
.〔本小题总分值2.〔全国二22〕12分〕
sinx
(x)
2cosx
〔Ⅰ〕求的单调区间;f(x)
〔Ⅱ〕如果对任何,都有,≥0f(x)≤axa
解:
(2cosx)cosxsinx(sinx)2cosx1
〔Ⅰ〕.∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分f(x)22
(2cosx)(2cosx)
2π2π1
当〔〕时,,即;2kπx2kπkZcosxf(x)0
332
2π4π1
当〔〕时,,x2kπkZcosxf(x)0
332
2π2π
因此在每一个区间〔〕是增函数,f(x)2kπ,2kπkZ
33
2π4π
f(x)在每一个区间〔〕是减函数.∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分2kπ,2kπkZ
33
〔Ⅱ〕令,那么g(x)axf(x)
2cosx1
g(x)a2
(2cosx)
23
a2
2cosx(2cosx)
2
111
3a.
2cosx33
1
故当时,.a≥g(x)≥0
3
又,所以当时,,即.∙∙∙∙∙∙∙∙9分g(0)0x≥0g(x)≥g(0)0f(x)≤ax
1
当时,令,ah(x)sinx3axh(x)cosx3a
3
故当时,.x0,arccos3ah(x)0
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(x)0,arccos3a
故当时,,x(0,arccos3a)h(x)h(0)0
3ax
sinxsinx
于是,当时,.x(0,arccos3a)f(x)ax
2cosx3
π1π
当时,≤0f0≥a
222
1
因此,的取值范围是.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分a,
3
.〔本小题共3.〔北京卷18〕13分〕
2xb
函数,求导函数,(x)2f(x)f(x)
(x1)
2(x1)2(2xb)2(x1)
解:f(x)4
(x1)
2x2b2
3
(x1)
2[x(b1)]
3.
(x1)
令,(x)0xb1
当,即时,的变化情况如下表:b11b2f(x)
x(,b1)b1(b1,1)(1,)
f(x)0
当,即时,的变化情况如下表:b11b2f(x)
x(,1)(1,b1)b1(b1,)
f(x)0
所以,当时,函数在上单调递减,在上单调递增,b2f(x)(,b1)(b1,1)
在上单调递减.(1,)
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当时,函数在上单调递减,在上单调递增,在上b2f(x)(,1)(1,b1)(b1,)
单调递减.
2
当,即时,,所以函数在上单调递减,在b11b2f(x)f(x)(,1)
x1
(1,)上单调递减.
.〔本小题总分值4.〔四川卷22〕14分〕
2
x3是函数的一个极值点。fxaln1xx10x
〔Ⅰ〕求;a
〔Ⅱ〕求函数的单调区间;fx
〔Ⅲ〕假设直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围。ybyfxb
'a
【解】:〔Ⅰ〕因为fx2x10
1x
'a
所以f36100
4
因此a16
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知,
2
fx16ln1xx10x,x1,
2
'2x4x3
fx
1x
'
当时,x1,13,fx0
'
当时,x1,3fx0
所以的单调增区间是fx1,1,3,
fx的单调减区间是1,3
〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调fx1,11,33,
'
增加,且当或时,x1x3fx0
所以的极大值为,极小值为fxf116ln29f332ln221
因此f16162101616ln29f1

fe21321121f3

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所以在的三个单调区间直线有的图象各有一fx1,1,1,3,3,ybyfx
个交点,当且仅当f3bf1
因此,的取值范围为。b32ln221,16ln29
〔本小题总分值5.〔天津卷21〕14分〕
函数〔〕,(x)x4ax32x2bxRa,bR
10
〔Ⅰ〕当时,讨论函数的单调性;af(x)
3
〔Ⅱ〕假设函数仅在处有极值,求的取值范围;f(x)x0a
〔Ⅲ〕假设对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范a[2,2]fx1[1,1]b
围.
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等根底知识,
.
〔Ⅰ〕解:.f(x)4x33ax24xx(4x23ax4)
102
当时,.af(x)x(4x10x4)2x(2x1)(x2)
3
1
令,解得,,.f(x)0x10x2x32
2
当变化时,,的变化情况如下表:xf(x)f(x)
111
x(,0)0(0,)(,2)2(2,)
222
f(x)-0+0-0+
f(x)↘极小值↗极大值↘极小值↗
11
所以在,内是增函数,在,(x)(0,)(2,)(,0)(,2)
22
〔Ⅱ〕解:,(x)x(4x23ax4)x04x23ax40
为使仅在处有极值,必须成立,(x)x04x23ax409a2640
88
解些不等式,,是唯一极值.af(0)b
33
88
[,]
33
22
〔Ⅲ〕解:由条件,可知,[2,2]9a6404x3ax40
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当时,;当时,.x0f(x)0x0f(x)0
(x)[1,1]f(1)f(1)
f(1)1
为使对任意的,不等式在上恒成立,当且仅当,即a[2,2]f(x)1[1,1]
f(1)1
b2a
,[2,2]
b2a
所以,4b(,4]
.〔本小题总分值6.〔安徽卷20〕12分〕
1
设函数f(x)(x0且x1)
xlnx
〔Ⅰ〕求函数的单调区间;f(x)
1
〔Ⅱ〕对任意成立,求实数的取值范围。2xxax(0,1)a
'lnx1'1
解(1)那么列表如下f(x)假设22,f(x)0,x
xlnxe
111
x(0,)(,1)(1,)
eee
f'(x)+0--
1
f(x)单调增极大值f()单调减单调减
e
1
xa1
在(2)两边取对数,得,由于所以2xln2alnx0x1,
x
a1
(1)
ln2xlnx
1
由(1)的结果可知,当时,,x(0,1)f(x)f()e
e
a
为使(1)式对所有成立,当且仅当,即x(0,1)eaeln2
ln2
〔本小题总分值7.〔山东卷21〕12分〕
1
函数其中f(x)naln(x1),n∈N*,a为常数.
(1x)
〔Ⅰ〕当n=2时,求函数f(x)的极值;
〔Ⅱ〕当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.
〔Ⅰ〕解:由得函数f(x)的定义域为{x|x>1},
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1
当n=2时,f(x)2aln(x1),
(1x)
2
2a(1x)
所以f(x)3.
(1x)
〔1〕当a>0时,由f(x)=0得
22
x11>1,<1,x21
aa
a(xx1)(xx2)
此时f′〔x〕=.3
(1x)
当x∈〔1,x1〕时,f′〔x〕<0,f(x)单调递减;
当x∈〔x1+∞〕时,f′〔x〕>0,f(x)单调递增.
〔2〕当a≤0时,f′〔x〕<0恒成立,所以f(x)无极值.
综上所述,n=2时,
2
当a>0时,f(x)在处取得极小值,极小值为x1
a
2a2
f(1)(1ln).
a2a
当a≤0时,f(x)无极值.
1
〔Ⅱ〕证法一:因为a=1,所以f(x)nln(x1).
(1x)
当n为偶数时,
1
令g(x)x1nln(x1),
(1x)
n1x2n
那么g′〔x〕=1+0〔n1>n1x≥2〕.
(x1)x1x1(x1)
所以当x∈[2,+∞]时,g(x)单调递增,
又g(2)=0
1
因此≥g(2)=0恒成立,g(x)x1nln(x1)
(x1)
所以f(x)≤x-
当n为奇数时,
1
要证≤x-1,由于<0,所以只需证ln(f(x)nx-1)≤x-1,
(1x)
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令h(x)=x-1-ln(x-1),
1x2
那么h′〔x〕=1-0〔≥x≥2〕,
x1x1
所以当x∈[2,+∞]时,单调递增,又h(x)x1ln(x1)h(2)=1>0,
所以当x≥2时,恒有h(x)>0,即ln〔x
综上所述,结论成立.
1
证法二:当a=1时,f(x)nln(x1).
(1x)
1
当x≤2,时,对任意的正整数n,恒有≤1,n
(1x)
故只需证明1+ln(x-1)≤x-1.
令h(x)x1(1ln(x1))x2ln(x1),x2,
1x2
那么h(x)1,
x1x1
当x≥20,故时,≥h(x)h(x)在上单调递增,2,
因此当x≥2时,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1)≤x-
1
故当x≥2n时,有≤ln(x1)x-1.
(1x)
即f〔x〕≤x-1.
8.〔江苏卷17〕ABCDA,,分别位于矩形及处,的顶点的中点
的区域上〔含边界〕,且,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形AB=20km,CB=10kmABCD
与等距离的一点处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道,设排污管道的A,BOAO,BO,OP

P
DC
〔Ⅰ〕按以下要求写出函数关系式:
①设∠BAO=(rad),将表示成的函数关系yO
式;
AB
②设OP(km)x的函数关系式.,将表示成xyx
〔Ⅱ〕请你选用〔Ⅰ〕中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总
长度最短.
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【解析】本小题主要考查函数最值的应用.
AQ10
〔Ⅰ〕①由条件知PQ垂直平分AB,假设∠BAO=(rad),那么,故OA
coscos
10
OB,又OP=10-10ta,1010tan
cos
1010
所以,yOAOBOP1010tan
coscos
2010sin
所求函数关系式为y100
cos4
222
②假设OP=(km),那么OQ=10-,所以OA=OB=xx10x10x20x200
2
所求函数关系式为yx2x20x2000x10
'10coscos2010sinsin102sin1
〔Ⅱ〕选择函数模型①,y22
coscos
'1
令0得sin=,y,因为,所以0
246
''
当时,,是的增函0,,是的减函数;当时,y0y,y0y
664

位于线段的中垂线上,且距离边数,所以当=PABAB时,。这时点ymin10103
6
103
km处。
3
xp1xp2
9.〔江苏卷20〕假设,,为常数,f1x3f2x23xR,p1,p2
f1x,f1xf2x
且fx
f2x,f1xf2x
〔Ⅰ〕求对所有实数成立的充要条件〔用表示〕;fxf1xp1,p2
〔Ⅱ〕设为两实数,且,假设a,babp1,p2a,bfafb
ba
求证:在区间上的单调增区间的长度和为〔闭区间的长度定义为fxa,bm,n
2
nm〕.
【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用.
xp1xp2xp1xp2log32
〔Ⅰ〕恒成立fxf1xf1xf2x32333
xp1xp2log32〔*〕
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因为xp1xp2xp1xp2