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高考数学萃取精华30套(20)2.pdf

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高考数学萃取精华30套〔20〕

20.(本小题总分值12分)
定义在正实数集上的函数f(x)x24ax1,g(x)6a2lnx2b1,其中a0
.
〔Ⅰ〕设两曲线yf(x),yg(x)有公共点,且在该点处的切线相同,用表示b
,并求b的最大值;
〔Ⅱ〕设h(x)f(x)g(x),证明:假设a31,那么对任意x1,x2(0,)
h(x2)h(x1)
,x1x2有8.
x2x1
20.〔此题总分值12分〕
〔Ⅰ〕设f(x)与g(x)交于点P(x0,y0),那么有
22
f(x0)g(x0),即x04ax016alnx02b1〔1〕
6a2
又由题意知f(x0)g(x0),即2x04a〔2〕……2分
x0
由〔2〕解得x0a或x03a(舍去)
5
将xa代入〔1〕整理得ba23a2lna…………………………4分
02
5
令h(a)a23a2lna,那么h(a)2a(13lna)
2
32
a(0,3e)时,h(a)递增,a(3e,)时h(a)递减,所以h(a)h(3e)e3
2
3232
即be3,b的最大值为e3……………………………………6
22

hx2hx1
〔Ⅱ〕不妨设x1,x20,,x1x2,8变形得
x2x1
hx28x2hx18x1
6a2
令T(x)hx8x,T(x)2x4a8,a31,
x
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高考数学萃取精华30套(20)2
6a2
T(x)2x4a843a4a84(31)(31)80
x
T(x)在0,内单调增,T(x2)T(x1),同理可证x1x2
……………………12分
21.(本小题总分值12分)
2
点Q是抛物线C1:y2px〔P0〕上异于坐标原点O的点,过点Q与抛物线
2
C2:y2x相切的两条直线分别交抛物线C1于点A,B.
〔Ⅰ〕假设点Q的坐标为(1,6),求直线AB的方程及弦AB的长;
〔Ⅱ〕判断直线AB与抛物线C2的位置关系,并说明理由.
21.〔此题总分值12分〕
〔Ⅰ〕由Q(1,6)在抛物线y22px上可得,p18,抛物线方程为y236x………1分
设抛物线C1的切线方程为:y6k(x1)
y6k(x1)
联立,{,由0,可得k4,k12
y2x2
y64(x1)1
{可知A(,3)
y236x4
y612(x1)9
{可知B(,9)……………………3分
y236x4
易求直线AB方程为12x2y90………………………4

弦AB长为237……………………5分
〔Ⅱ〕设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),三个点都在抛物线C1上,故有
222
y02px0,y12px1,y22px2,作差整理得
yy2pyy2p
01,02
x0x1y0y1x0x2y0y2
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高考数学萃取精华30套(20)2
2p2p
所以直线QA:y(xx0)y0,直线QB:y(xx0)y0
y0y1y0y2
…………………6分
因为QA,QB均是抛物线C2的切线,故与抛物线C2方程联立,Δ0,可得:
22
p2y0y1(y0y1)0,p2y0y2(y0y2)0
两式相减整理得:y0(y1y2)(y0y1y2)0,即可知y0(y1y2)
……………………8分
y1y22p2p
kAB
x1x2y1y2y0
2p2
所以直线AB:yy1(xx1),与抛物线y2x联立消去
y0
2
得关于的一元二次方程:2y0x2pxy1(y1y0)0……………………10分
2
易知其判别式0,因而直线AB与抛物线y2xAB与抛物线C2相切.
…………………………………………12分
22.(本小题总分值10分)选修4—1:几何证明选讲
RtABC中,BAC90,ADBC,
垂足为,DFAC,垂足为,DEAB,
垂足为.
求证:〔Ⅰ〕ABACADBC;
〔Ⅱ〕AD3BCBECF
22.〔此题总分值10分〕
〔Ⅰ〕证明:
ΔABD∽ΔCBA
ABBC
∴,即ABACADBC……………………4分
ADAC
〔Ⅱ〕由射影定理知AD2AEAB
DFBEABED
又由三角形相似可知,,且DFAE
CFEDBCAD
∴AEABADBCCFBE,结合射影定理
∴AD3BCBECF…………10分
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高考数学萃取精华30套(20)2
23.(本小题总分值10分)选修4—4:坐标系与参数方程
x2cos
直线l的极坐标方程为(sincos)1,曲线C的参数方程为〔
ysin
为参数〕.
〔Ⅰ〕求直线l的直角坐标方程;
〔Ⅱ〕设直线l与曲线C交于,四两点,原点为O,求ABO的面积.
23.〔此题总分值10分〕
〔Ⅰ〕直线的直角坐标方程为:xy10;
………………3分
2
〔Ⅱ〕原点到直线的距离d,
2
2
x1t2
2x2
直线参数方程为:{(t为参数)曲线C的直角坐标方程为:y1
24
yt
2
,
82
联立得:5t222t60,求得AB|tt|
125
14
所以SABd…………………………10分
ABO25
24.(本小题总分值10分)选修4—5:不等式选讲
假设关于的不等式|2x4||4x2|a恒成立,求的取值范围.
24.〔此题总分值10分〕
令g(x)|2x4||4x2|,agmin(x)即可

6x6(x2)
11
g(x)2x2(x2),当x时,g(x)取最小值3
22
1
6x6(x)
2
agmin(x)即可,故a3.…………………………………10分

20.〔本小题总分值12分〕
32
函数f(x)xaxx1,aR.
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〔Ⅰ〕讨论函数f(x)的单调区间;
21
〔Ⅱ〕设函数f(x)在区间,内是减函数,求的取值范围.
33
:〔1〕f(x)x3ax2x1求导:f(x)3x22ax1。。。。。1分
当a2≤3时,≤0,f(x)≥0,f(x)在上递增。。。。。。。。。。。2分
aa23
当a23,f(x)0求得两根为x。。。。。。。。。。3分
3
aa23aa23aa23
即f(x)在,递增,,递减,

333
aa23
,递增。。。。。。。6分

3
aa232
≤
33
〔2〕,。。。。。。6分
aa231
≥
33
7
且a23解得:a≥。。。。12分
4
21.〔本小题总分值12分〕
qp
设函数f(x)px2lnx,且f(e)qe2〔为自然对数的底数〕.
xe
〔Ⅰ〕求实数与的关系;
〔Ⅱ〕假设函数f(x)在其定义域内为单调函数,求实数的取值范围;
2e
〔Ⅲ〕设g(x),假设存在x1,e,使得f(x)g(x)成立,求实数的取值
x000
范围.
qp
:〔Ⅰ〕由题意,得fepe2lneqe2,
ee
1
化简得pqe0,pq
e
.………………………………………………………………2分
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高考数学萃取精华30套(20)2
p
〔Ⅱ〕函数fx的定义域为0,.由〔Ⅰ〕知,fxpx2lnx,
x
p2px22xp
fxp
x2xx2
.……………………………………………………………………3分
令hxpx22xp,要使fx在其定义域0,内为单调函数,只需hx在
0,内满足hx0或hx0恒成立.
〔1〕当p0时,hx2x0,fx0.
fx在0,内为单调减函数,故p0符合条
件.…………………………………………………4分
111
〔2〕当p0时,.只需p0,即p1时hx0,
hxminhp
ppp
此时fx0.
fx在0,内为单调增函数,故p1符合条
件.………………………………………………6分
〔3〕当p0时,hxmaxh00,此时fx0.
fx在0,内为单调减函数,故p0符合条件.
综上可得,p1或p0为所
求.………………………………………………………………………8分
2e
〔Ⅲ〕gx在1,e上是减函数,xe时,gx2;x1时,
xmin
gxmax2e.
即gx2,2e
.……………………………………………………………………………………………9分
〔1〕当p0时,由〔Ⅱ〕知,fx在1,e上递减,fxmaxf102,不合
题意.………10分
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1
〔2〕当0p1时,由x1,e知,x0.
x
11
fxpx2lnxx2lnx.
xx
1
由〔Ⅱ〕知,当p1时,fxx2lnx单调递增,
x
11
fxx2lnxe22,
xe
不合题意.…………………………………………………10分
〔3〕当p1时,由〔Ⅱ〕知fx在1,e上递增,f102,
又gx在在1,e上递减,fxmaxgxmin2.
14e
即pe2lne2,p.
ee21
4e
综上,的取值范围是,.…………………………………………………
e21
22.〔本小题总分值12分〕
22
xy3
双曲线C:1(a0,b0)的离心率为3,右准线方程为x
a2b23
〔Ⅰ〕求双曲线C的方程;
〔Ⅱ〕直线xym0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆
x2y25上,求m的值.
22.〔本小题总分值12分〕
a23

c3
〔Ⅰ〕由题意,得,解得a1,c3,
c
3
a
y2
∴b2c2a22,∴所求双曲线C的方程为x21.。。。。。4分
2
〔Ⅱ〕设A、B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2,线段AB的中点为Mx0,y0,
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2
2y
x122
由2得x2mxm20〔判别式0〕,。。。。。4分

xym0
xx
∴x12m,yxm2m,
0200
22
∵点Mx0,y0在圆xy5上,
2
∴m22m5,∴m1.。。。。。。。。。。。。。12分
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