（浙江专用）版高考数学8.5曲线与方程课时体能训练理.pdf

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【全程复****方略】〔浙江专用〕
人教A版
(45分钟100分)
一、选择题〔每题6分,共36分〕
1.〔·揭阳模拟〕方程x2-4y2+3x-6y=0表示的图形是()
〔A〕一条直线〔B〕两条直线
〔C〕一个圆〔D〕以上答案都不对
22
1、x2∈R,常数a>0,定义运算“*〞:x1*x2=(x1+x2)-(x1-x2),假设x≥0,那么动点P(x,x*a)的轨
迹是()
〔A〕圆
〔B〕椭圆的一局部
〔C〕双曲线的一局部
〔D〕抛物线的一局部

3.〔预测题〕两点M〔-2,0〕,N〔2,0〕,点P为坐标平面内的动点,满足MNMPMNNP0,
那么动点P(x,y)的轨迹方程为()
(A)y2=8x(B)y2=-8x
(C)y2=4x(D)y2=-4x
=1上,O为坐标原点,以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰直角△OPQ,那么动点
Q的轨迹是()
〔A〕圆〔B〕两条平行直线
〔C〕抛物线〔D〕双曲线
〔x+1)2+y2=25的圆心为C,A〔1,0〕是圆内一定点,Q为圆周上任一点,线段AQ的垂直平分线
与CQ的连线交于点M,那么M的轨迹方程为()
4x24y24x24y2
〔A〕(B)1+1
21252125
4x24y24x24y2
(C)1(D)+1
25212521
,动圆C过点P与定圆O相切,那么动圆C的圆心轨迹可能是()
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〔A〕圆或椭圆或双曲线
〔B〕两条射线或圆或抛物线
〔C〕两条射线或圆或椭圆
〔D〕椭圆或双曲线或抛物线
二、填空题〔每题6分,共18分〕
x2y2
7.〔易错题〕倾斜角为的直线交椭圆1于A、B两点,那么线段AB的中点M的轨迹方程是
442
______.
8.〔·昆明模拟〕设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、ON为邻边作平行四边形MONP,
那么点P的轨迹方程为______.
、B和动点P,如果直线PA、PB的斜率之积为定值m,那么点P的轨迹可能
是:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤:______.
三、解答题〔每题15分,共30分〕
10.〔·杭州模拟〕设t>1,点A〔-t,0〕,点B〔t,0〕直线AM、BM的斜率之积为-t,对于每一个t,记点M
的轨迹为曲线C1.
〔1〕求曲线C1的方程及焦点坐标;
〔2〕设O为坐标原点,过点〔0,-t〕的直线l与曲线C1交于P、Q两点,求
△OPQ面积的最大值S〔t〕,并求S(t)的值域.
11.〔·台州模拟〕曲线C上的动点P〔x,y〕满足到点F〔0,1〕的距离比到直线l:y=-2的距离小1.
〔1〕求曲线C的方程;
〔2〕动点E在直线l上,过点E作曲线C的切线EA,EB,切点分别为A、B;
〔ⅰ〕求证:直线AB恒过一定点,并求出该定点的坐标;
〔ⅱ〕在直线l上是否存在一点E,使得△ABM为等边三角形〔M点也在直线l上〕?假设存在,求出点
E的坐标;假设不存在,请说明理由.
【探究创新】

〔16分〕线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=3,点M满足2AM〔M1B〕求动.
点M的轨迹E的方程;
〔2〕假设曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分,求实数k的取值范围.
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答案解析
1.【解析】选B.∵x2-4y2+3x-6y=0,
33
(x)24(y)20,
24
∴(x+2y+3)(x-2y)=0,
∴x+2y+3=0或x-2y=0.
∴原方程表示两条直线.
22
2.【解析】选D.
x1*x2x1x2x1x2,
x*axa2xa22ax.
那么Px,2ax.
设P(x1,y1),
x1x
即
y12ax,
2
消去x得y14ax1(x1≥0,y1≥0)故点,P的轨迹为抛物线的一局部.
22
3.【解析】4,MPx2y,MNNP4x2,
4x22y24x20,y28x.
4.【解析】(1,t),Q(x,y),由题意知|OP|=|OQ|,
∴x2+y2=1+t2①

又OPOQ0,∴x+ty=0,
x
t,y0.②
y
把②代入①,得(x2+y2)(y2-1)=0,即y=±1.
所以动点Q的轨迹是两条平行直线.
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5.【解题指南】找到动点M满足的等量关系,用定义法求解.
【解析】,
那么|AM|=|MQ|,
∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|
=5(5>|AC|),
即点M的轨迹是椭圆,
521
a,c1,那么b2a2c2,
24
4x24y2
∴点M的轨迹方程为.+1
2521
6.【解析】,圆C与圆O内切或外切,O,P,C三点共线,∴轨迹为两
条射线;
当点P在定圆O内时(非圆心),|OC|+|PC|=r0为定值,轨迹为椭圆;
当P与O重合时,圆心轨迹为圆.
【误区警示】此题易因讨论不全,或找错关系而出现错误.
5x2
7.【解析】设直线AB的方程为y=x+m,代入椭圆方程,得2mxm210设,AB的中点坐标为
4
xx4mm
M(x,y),那么x12,y,消去m得x+4y=0,
255
又因为Δ=4m2-5(m2-1)>0,
所以5<m<5,
4545
于是<x<.
55
4545
答案:x+4y=0〔<x<〕
55
【误区警示】此题易出现x+4y=0的错误结论,其错误原因是没有注意到动点在椭圆内.
xy
8.【解析】设P(x,y),圆上的动点N〔x0,y0〕,那么线段OP的中点坐标为(,),线段MN的中点坐标
22
x3y4
为(0,0),又因为平行四边形的对角线互相平分,所以有:
22
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xx03

22x0x3
可得
yy4yy4,
00
22
又因为N(x0,y0)在圆上,所以N点坐标应满足圆的方程.
9122128
即有(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(,)和(,).
5555
9122128
答案:(x+3)2+(y-4)2=4〔除去两点(,)和(,)〕
5555
9.【解析】以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设A(-a,0),B(a,0),
yy
P(x,y),那么有m,即mx2-y2=a2m,
xaxa
当m<0且m≠-1时,轨迹为椭圆;当m>0时,轨迹为双曲线;当m=-1时,轨迹为圆;当m=0时,轨迹
为一直线;但不能是抛物线的方程.
答案:①②④⑤
yy
10.【解析】〔1〕设M〔x,y〕,那么t(xt)
xtxt
x2y2
得曲线的方程1(xt),
t2t3
焦点坐标为〔0,tt1〕和〔0,tt1〕.
(2)设直线l:y=kx-t,P(x1,y1),Q(x2,y2),
可得,〔t+k2〕x2-2ktx+t2-t3=0,
2kt
xx
12tk2
那么
t2t3
xx.
12tk2
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2322
112kt2tt2tttk
SOPQtx1x2t(2)42t2.
22tktktk2
mtt111
设t+k2=m,那么Stt2t2t()2,
m2m24
11
当1<t≤2时,(S当且仅当tt+kt2t2=2时取等号),此时St≤22,
max22
当t>2时,(S当且仅当tt+ktt2t,2=t时取等号),
max
此时S〔t〕>22,
1
综上,S(t)的取值范围是〔,〕.
2
11.【解析】〔1〕曲线C的方程x2=4y.
x2x2
(2)(ⅰ)设E〔a,-2〕,A(x,1),B(x,2),
1424
x21x21
y,yx,过点A的抛物线切线方程为y1xxx,
424211
x21
∵切线过E点,21xax,
4211
22
整理得:x12ax180,同理可得:x22ax280,
2
∴x1,x2是方程x-2ax-8=0的两根,
a24
∴x1+x2=2a,x1·x2=-8,可得AB中点为〔a,〕,
2
22
x1x2
2
y1y244x1x2aaa
又kAB,∴直线AB的方程为y(2)xa,
x1x2x1x24222
a
即yx2,∴AB过定点〔0,2〕.
2
a24a
〔ⅱ〕由〔ⅰ〕知AB中点N〔a,〕,直线AB的方程为yx2,
22
当a≠0时,那么AB的中垂线方程为
a242a312a
yxa,∴AB的中垂线与直线y=-2的交点M的坐标为〔,〕2,
2a4
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32
2a12aa412
MN(a)2(2)2a28a24,
4216
2
a2
22假设△ABM为等边三角形,那么
AB1x1x4x1x2a4a8,
42
313
MNAB,(a28)2a24a24a28,
2164
解得a2=4,∴a=±2,此时E〔±2,-2〕,
当a=0时,经检验不存在满足条件的点E,
综上可得:满足条件的点E存在,坐标为〔2,-2〕或〔-2,-2〕.
【变式备选】两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动,且|MN|=2,动点P满足:

2OPOMON〔O为坐标原点〕,点P的轨迹记为曲线C.
〔1〕求曲线C的方程,并讨论曲线C的类型;
〔2〕过点〔0,1〕作直线l与曲线C交于不同的两点A、B,假设对于任意m>1,都有∠AOB为锐角,求
直线l的斜率k的取值范围.

【解析】〔1〕由2OPOMON,得P是MN的中点.
设P〔x,y〕,M(x1,mx1),N(x2,-mx2),依题意得:

x1x22x

mx1mx22y
222
x1x2mx1mx22,
x2y2
消去x1,x2,整理得>1时,方程表示焦点在y轴上的椭圆;
1m2
m2
当0<m<1时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;
当m=1时,方程表示圆.
〔2〕由m>1知方程表示焦点在y轴上的椭圆,直线l与曲线C恒有两交点,直线斜率不存在时不符合
题意.
可设直线l的方程为y=kx+1,
直线与椭圆交点A〔x3,y3),B(x4,y4).
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ykx1
22
xy4222
1mkx2kx1m0.
1m2
m2
2k1m2
xx,xx.
34m4k234m4k2
22
k1m2k2
yykx1kx11.
3434m4k2m4k2

要使∠AOB为锐角,只需OAOB>0,
m4k21m21
xxyy>0.
3434m4k2
1
即m4-(k2+1)m2+1>0,可得m2>k21,
m2
对于任意m>1恒成立.
1
而m2>2,∴k2+1≤2,-1≤k≤1.
m2
所以k的取值范围是[-1,1].
【方法技巧】参数法求轨迹方程的技巧
参数法是求轨迹方程的一种重要方法,,选参数时要注意:
〔1〕动点的变化是随着参数的变化而变化的,即参数要能真正反映动点的变化特征;〔2〕参数要与题
设的量有着密切的联系;〔3〕参数要便于轨迹条件中的各种相关量的计算,
角度、斜率、点的横坐标、纵坐标等.
【探究创新】
【解析】〔1〕设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),
22
那么x0y09,AMxx0,y,MBx,y0y.由2AMMB,
3x
2xx0xx0
得解得2
2yy0y,
y03y,
22
代入x0y09,
x2
化简得点M的轨迹方程为y21.
4
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〔2〕由题意知k≠0,
1
假设存在弦CD被直线l垂直平分,设直线CD的方程为yxb,
k
1
yxb
k
由消去y化简得
x2
y21,
4
k24x28kbx4k2b210,
2222
8kb4k44kb1
16k2k2b2k24>0,
k2b2k24<0,
设C(x1,y1),D(x2,y2),CD中点P(xp,yp),
8kb
那么xx,
12k24
xx4kb
x12,
p2k24
114kbk2b
yxbb,
pkpkk24k24
4kb
又yk(1),
pk24
4kbk2bk24
∴k(1),得b,代入k2b2-k2-4<0,
k24k243k
2
k24
得k24<0,
9
解得k2<5,5<k<5.
∴当曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分时,
k的取值范围是k≤5或k≥5.
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