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【全程复****方略】〔浙江专用〕
版
(45分钟100分)
一、选择题〔每题6分,共36分〕
x2y2
圆1的右焦点到直线y3x的距离是()
43
13
〔A〕〔B〕〔C〕1〔D〕3
22
2.〔·杭州模拟〕假设椭圆上存在点P,使得点P到两个焦点的距离之比为
2∶1,那么此椭圆离心率的取值范围是()
1111
〔A〕[,]〔B〕[,]
4332
11
〔C〕(,1)〔D〕[,1)
33
x2y2
1的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为()
916
16329
〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9
332
x2y2
1,假设此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m对称,那么实数m的取值范围是()
43
21322213213
(A)(,)(B)(,)
13131313
22132323
(C)(,)(D)(,)
13131313
x2y210
1的离心率e,那么m的值为()
5m5
5
〔A〕1〔B〕15或15
3
25
〔C〕15〔D〕3或
3
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x2y2
1、F2分别是椭圆1ab0的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B也在椭
a2b2
2
圆上,且满足OO〔AO为坐标原点〕,OB,假设椭圆的离心率等于AFFF0,那么直线AB
2122
的方程是()
22
〔A〕yx〔B〕yx
22
33
〔C〕yx〔D〕yx
22
二、填空题〔每题6分,共18分〕
x2y2
1表示椭圆,那么k的取值范围是______.
k3k3
x2y2
8.〔易错题〕F1、F2分别是椭圆1ab0的左、右焦点,以原点O为圆心,OF1为半径的圆
a2b2
与椭圆在y轴左侧交于A、B两点,假设△F2AB是等边三角形,那么椭圆的离心率等于______.
x2y2
:的左右焦点分别为1abF01,F2,P为椭圆M上任一点,且|PF1|·|PF2|的最大值
a2b2
的取值范围是[2c2,3c2],其中,c那么椭圆a2Mb的离心率2e的取值范围是______.
三、解答题〔每题15分,共30分〕
x2y23
10.〔·陕西高考〕设椭圆C:过点〔0,4〕,离心率为1(ab.0)
a2b25
〔1〕求C的方程;
4
〔2〕求过点〔3,0〕且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.
5
x2y22
11.〔预测题〕椭圆C:1ab0两个焦点之间的距离为2,且其离心率为.
a2b22
〔1〕求椭圆C的标准方程;

〔2〕假设F为椭圆C的右焦点,经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A,且满足BABF2
,求△ABF外接圆的方程.
【探究创新】
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x2y2
〔16分〕直线x-2y+2=0经过椭圆C:的左顶点A和上顶点1aD,b椭圆0C的右顶点为
a2b2
10
B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线l:分别交于xM,N两点.
3
〔1〕求椭圆C的方程;
〔2〕求线段MN的长度的最小值;
1
〔3〕当线段MN的长度最小时,在椭圆C上是否存在这样的点T,使得△TSB的面积为?假设存在,确
5
定点T的个数,假设不存在,请说明理由.
答案解析
x2y2
1.【解析】的右焦点为1F〔1,0〕,
43
303
∴它到直线(y即)y0
(3)212
2.【解析】,k,根据椭圆定义可知:3k=2a,又结合椭圆的性质可
知,椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c,
1
即k≤2c,∴2a≤6c,即e,又e<1,应选D.
3
x2y2
3.【解析】的弦垂直于椭圆的长轴且过焦点,所以弦的一个端点坐标为1,所以(x,7)
9161
x2799
11,解得:x,所以弦长为.
916142
y2y11
4.【解析】(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),,kAB
x2x14
2222
x1+x2=2x,y1+y2=2y,3x14y112①,3x24y212②,①②两式相减得
2222
3(x2x1)4(y2y1)0,即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆
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m29m2213213
的内部,那么,即.<1<m<
431313
【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧:
对于直线与椭圆相交问题,假设题设和待求涉及到弦的中点和所在直线的斜率,求解时一般先设交点坐
标,代入曲线方程,再用平方差公式求解,这种解法,大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来
的繁杂运算.
x2y2
5.【解析】的焦点在x轴上时,1
5m
a5,bm,c5m,
105m10
由e,得,解得m=3;
555
x2y2
当椭圆1的焦点在y轴上时,
5m
am,b5,cm5,
10m51025
由e,得,
5m53

6.【解题指南】由0O知,AAO、BB两点关于原点对称,设出A点坐标,利用向量列方程求解.

【解析】(x1,y1),因为0O,所以AOB(-xB1,-y1),,AF2cx1,,y1F1F2(2c,0)
b2
又因为AFFF0,所以(c-x1,-y1)·〔2c,0)=0,即x1=c,代入椭圆方程得y,因为离心率
2121a
22c2
e,所以,a2c,b=c,A(c,),x
222
k30
x2y2
7.【解析】方程1表示椭圆,那么k30,解得k>3.
k3k3
k3k3
答案:k>3
c3x2y2c23c2
8.【解析】因为△F2AB是等边三角形,所以A(,c)在椭圆1上,所以1,
22a2b24a24b2
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因为c2=a2-b2,所以,4a4-8a2c2+c4=0,即e4-8e2+4=0,所以,e2423,e31或e31〔
舍〕.
答案:31
【误区警示】此题易出现答案为31或31的错误,其错误原因是没有注意到或不知道椭圆离心率
的范围.
2222
9.【解析】∵|PF1|·|PF2|的最大值为a,∴由题意知2c≤a≤3c,∴,2ca3c
3232
∴,∴椭圆e离心率e的取值范围是.[,]
3232
32
答案:[,]
32
16c3a2b29
10.【解析】(1)将〔0,4〕代入椭圆C的方程得,∴b=4.1又e得,即
b2a5a225
169x2y2
1,∴a=5,∴C的方程为1.
a2252516
44
〔2〕过点〔3,0〕且斜率为的直线方程为,y设直线与(xC3的交点为)A〔x1,y1〕,B〔x2,y2〕,
55
22
4x(x3)2
将直线方程y(x3)代入C的方程,得,即x11+x2=3,∴AB的中点坐标
52525
xx3
x12,
22
yy2636
y12(xx6).即中点为(.,)
2512525
c2
11.【解析】〔1〕∵2c=2,e,∴c=1,,∴,a椭圆C2的标准方程是ba2c21
a2
x2
y21.
2

〔2〕由可得B(0,1),F(1,0),设A(x0,y0),那么BAx0,y01,BF1,1,

∵BABF2,
∴x0-(y0-1)=2,即x0=1+y0,
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4
x
2x00
x0203
代入y01,得:或,
2y11
0y
03
41
即A(0,-1)或A(,).
33
当A为(0,-1)时,|OA|=|OB|=|OF|=1,△ABF的外接圆是以O为圆心,以1为半径的圆,该外接圆的方程
为x2+y2=1;
41
当A为(,)时,kBF=-1,kAF=1,所以△ABF是直角三角形,
33
2225225
的中点(,)以及,B可得△AABF的外接圆的方程.(x)2(y)2
333339
225
综上所述,△ABF的外接圆的方程为x2+y2=1或(.x)2(y)2
339
【变式备选】椭圆的一个顶点为A〔0,-1〕,焦点在x轴上,假设右焦点到直线xy22的距离0
为3.
〔1〕求椭圆的方程;
〔2〕设直线l:y=x+m,是否存在实数m,使直线l与〔1〕中的椭圆有两个不同的交点M、N,使
|AM|=|AN|,假设存在,求出m的值,假设不存在,请说明理由.
x2
【解析】〔1〕依题意,设椭圆的方程为y21,设右焦点为〔c,0〕〔c>0〕,那么由点到直线的距离
a2
c22x2
公式,得,∴,∴a3c22=b2+c2=3,∴所求椭圆的方程为.y21
23
yxm,
222
〔2〕设M〔x1,y1〕,N〔x2,y2〕,联立方程组得∴4x+6mx+3m-3=0,
x2
y1,
3
3m3(m21)m
∴,xxxx,∴.∵|AM|=|AN|,yy
122124122
22222
∴x1(y11)x2(y1)
3mm
∴,(2)
22
∴m=2,此时判别式Δ=0,∴满足条件的m的值不存在.
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【探究创新】
x2
【解析】〔1〕由题知A(-2,0),D(0,1),故a=2,b=1,所以椭圆方程为:.y21
4
1016k
〔2〕设直线AS的方程为y=k(x+2)(k>0),从而可知M点的坐标为(,).
33
ykx2
28k24k
由2得S(,),
x222
y114k14k
4
1101
所以可得BS的方程为yx2,从而可知N点的坐标(,),
4k33k
16k181
∴MN当且仅当k时等号成立,
33k34
18
故当k时,线段MN的长度取最小值.
43
164
〔3〕由〔2〕知,当|MN|取最小值时,k,此时直线BS的方程为x+y-2=0,S(,,∴)|BS|=
455
4212
.要使椭圆C上存在点T,使得△TSB的面积等于,只需T到直线BS的距离等于,所以点T
554
2
在平行于直线BS且与直线BS的距离等于的直线l′:x+y-2=0;直线l′:x+y+m=0,得
4
5353
m或,m那么直线l′:,xy0或xy0
2222
5
xy0
2,消去y得5x2-20x+21=0,Δ<0无解;
22
x4y40
3
xy0
2,消去y得5x2-12x+5=0,Δ=44>0,有两个解,
22
x4y40
所以点T有两个.
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