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第二十八章圆
知识结构:
弧、弦与圆心角
圆的基本
圆周角及其与同弧上圆心角的关系
性质
圆的对称性
点与圆的位置关系
与圆有关切线
圆的位置关直线与圆的位置关系圆的切线
系
圆与圆的位置关系切线
圆中的计算
应知
一、根本概念。
圆:其一:平面上到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形叫圆。
其二:平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,它的另一端留下的轨迹叫圆。
弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径,它是圆中最长的弦。
弧:圆上任意两点间的局部叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧
叫做劣弧。
圆心角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆周角:顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
外接圆:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。这个
三角形叫做圆的内接三角形。外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。
内切圆:和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。这个三角
形叫做圆的外切三角形。内心就是三角形三条内角平分线的交点。
扇形:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。或者说,在圆
上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
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圆锥的母线:圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。
圆锥的高:连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。
二、根本法那么:
:圆既是旋转对称图形,圆心是其对称中心;又是轴对称图形,任意一条直
径所在的直线都是它的对称轴。
在同圆或等圆中:
⑴如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他
们所对应的其余各组量都分别相等。
⑵同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90度
的圆周角所对的弦是直径。
⑶如果一条弧的长是另一条弧的2倍,那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
。
圆上:点与圆心的距离等于半径。
圆内:点与圆心的距离小于半径。
圆外:点与圆心的距离大于半径。
【注意】不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
。
相离:一条直线与圆没有公共点。
相切:一条直线与圆有一个公共点。这条直线叫圆的切线。这个公共点叫切点。
【注意】切线性质:圆的切线垂直于过切点的半径。
相交:一条直线与圆有两个公共点。这条直线叫圆的割线。
。
相离:两个圆没有公共点。其中,一圆在另一圆外的又叫外离;一圆在另一圆内的又叫内
含。
相切:两个圆只有一个公共点。其中,一圆在另一圆外的又叫外切;一圆在另一圆内的又
叫内切。
相交:两个圆有两个公共点。
:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论:平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
:
⑴经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。(切线判定方法)
⑵从圆外一点可以引圆的两条切线,两条切线的长相等,这一点与圆心的连线平分这两条
切线的夹角。(注:圆的切线上的某一点与切点之间的线段的长叫这点到圆的切线长。)
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nπr
弧长:(式中:n—弧所对的圆心角度数,r—半径)
180
【注意】如果弧长是圆锥体侧面展开的弧长,那么式中的r是圆锥体母线,而不是
底面半径。
nπr21
扇形面积:S=S,或Sr
3602
2
圆锥底面积:S底=πr,侧面积:S侧=πra,(式中:a—母线长)
2
全面积:S全=πra+πr
应会
。
【注意】解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂线,或连接圆心和弦的中点,连结半
径等辅助线,为应用垂径定理和勾股定理创造条件。
、圆与圆的位置关系。
、扇形面积、圆锥的底面积、侧面积、全面积。
例题
:圆周角是圆心角的一半.
,一条公路的转弯处是一段圆弧〔即图中)C,点DO
C
E
是CD的圆心,其中CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足
为F,EF=90m,
O
、B、C,经过A、B、C三点的圆有几个(作
图)?圆心在哪里?
?请证明。
O
A
PB
,AB是⊙O的弦,P是AB上一点,假设AB=10,PB=4,OP=5,求⊙O的半径的
长。
ABC
O
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,以O为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB的延长线交大圆于点C,假设
AB=3,BC=1,求圆环的面积(精确到整数位)。
-11,AB为⊙O的直径,CD为弦,过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD,分别交
AB于N、M,请问图中的AN与BM是否相等,说明理由.
MB
O
N
A
CD
,CD是⊙O的直径,过弦AB两端分别作FA⊥AB,EB⊥AB,交CD所在直线于
F、:CE=FD.
9.:如图,B是⊙O外一点,BO的延长线交⊙O于点A,点C在圆上,且AC=BC,∠
B=:直线BC是⊙O的切线。
C
B
AO
、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切线分别相交于C、D,PA=7cm,
(1)求△PCD的周长.
A
(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数D
O
参考答案PE
CB
1.
观察与分析:此题的关键是必须考虑圆心在圆周角的一边上、在圆周
角外部及在圆周角内部三种情况,否那么证明即不充分。
证明:圆心与圆周角的位置关系有以下三种情况,分别证明如下:
(1)当圆心在圆周角的一边上时(右上图):
∵OA=OC∴∠BAC=∠C
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1
∵∠BOC=∠BAC+∠C∴∠BAC=∠BOC
2
(2)当圆心在圆周角外部时:
连接AO并延长与圆相交于D(右中图)
11
由(1)可知,∠DAB=∠DOB,∠DAC=∠DOC
22
11
∴∠BAC=∠DAC-∠DAB=(∠DOC-∠DOB)=∠BOC
22
(3)当圆心在圆周角内部时:
连接AO并延长与圆相交于D(右以下图)
11
由(1)可知,∠DAB=∠BOD,∠DAC=∠DOC
22
11
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=(∠BOD+∠DOC)=∠BOC
22
:这是垂径定理的应用,解题过程中使用了列方程的方
法,这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌
解:如图,连接OC
握。C
设弯路的半径为R,那么OF=〔R-90〕mE
∵OE⊥CD
FD
11
∴CF=CD=×600=300〔m〕
22O
EA
根据勾股定理,得:OC2=CF2+OF2
F
即R2=3002+〔R-90〕2解得R=545
O
BD
答:这段弯路的半径为545m.
C
:作法:
①连接AB、BC;G
②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG,DE与FG相交于点O;
③以O为圆心,以OA为半径作圆,⊙O就是所要求作的圆(如图)。
因为直线DE与FG只有一个交点O,并且点O到A、B、CP
三个点的距离相等〔中垂线上的任一点到两边的距离相等〕,所以
经过A、B、C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆。l1l2
:如图,假设过同一直线L上的A、B、C三点
可以作一个圆,设这个圆的圆心为P,那么点P既在ABC
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线段AB的垂直平分线L1,又在线段BC的垂直平分线L2,即点P为L1与L2点,而L1⊥
L,L2⊥L,这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与直线垂直〞矛盾。
所以,过同一直线上的三点不能作圆.
:连接OB,作OC⊥AB,垂足为C(如图),那么OC垂直平分AB
1
∴CPABBP541,OCOP2CP2521224
2
∴OBOC2CB224257
O
CP
AB
:此题不需要求出半径的值,只需通过公式推导即可得出
圆环的面积。
解:作OD⊥AB,垂足为D(如图),那么OD垂直并平分AB.
r
设小圆半径为r,大圆半径为R,那么:R
ADB
2C
22122
rODABOD
2
2
1
R2OD2ABBCOD2
2
∴圆环面积S(R2r2)OD2OD2413
:作OE⊥CD,那么OE平分CD,且平分梯形CNMD的
另一腰。
解:AN与BM相等,理由如下:
B
作OE⊥CD,NF⊥OE,OG⊥MG,垂足分别为E,F,G(如M
图),那么CE=ED,不难证明Rt△NFO≌Rt△OGM,O
G
∴NO=OM
N
又OA=OB,F
A
∴AN=OA-NO=OB-OM=BME
CD
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:解几何题时,作辅助线常常是解题的关键。如此题,只
要连接点A和BE与圆的交点G,答案立即明白。
A
证明:BE与⊙O交于G,连接AG,F
∵∠ABE=90°,∴AG是⊙O的又一条直径,OA=OGD
∵FA⊥AB,EB⊥AB,∴AF∥EB,∠OFA=∠OEGO
又∵∠AOF=∠EOG,∴△AOF≌△EOG,OE=OF
C
∴CE=OE-OC=OF-OD=FD
E
GB
:证明是否圆的切线,就是证明它是否与圆的直径(半径)垂
直。
证明:连接OC(如图),C
∵AC=BC,∴∠A=∠B=30°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=120°AB
O
又∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°
∴∠BCO=120°-30°=90°,
即BC⊥OC,直线BC是⊙O的切线。
观察与分析:此题看似难解,实际上只是一些等式变换,只要知道圆的切线的有
10.
关定理即可解题。
解:(1)如图,由圆的切线长定理知,PA=PB,DA=DE,CA=CB
∴DC=DA+CB,△PCD的周长为:PC+PD+DC=2PA=14A
(2)连接OC、OD,那么∠ODA=∠ODE,∠OCB=∠OCED
O
∵∠ADE=∠P+∠PCD,∠BCE=∠P+∠PDCP
∴∠COD=180°-(∠ODE+∠OCE)E
1
=180°-(∠P+∠PCD+∠P+∠PDC)CB
2
1
=180°-(2∠P+180°-∠P)
2
1
=180°-(2×46°+180°-46°)
2
=180°-113°=67°
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