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第八章第1节.doc

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最新考纲 、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图;,了解空间图形的不同表示形式.
知识梳理
多面体
结构特征
棱柱
有两个面互相平行,而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行
棱锥
有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
矩形的一边所在的直线
圆锥
直角三角形
直角三角形的一直角边所在的直线
圆台
直角梯形
直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线

半圆
半圆直径所在的直线
(1)几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
(2)三视图的画法
①基本要求:长对正,高平齐,宽相等.
②在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线.

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
[常用结论与微点提醒]
,易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.
.

(1)球的三视图都是半径相等的圆.
(2)水平放置的圆锥、圆台、圆柱的主视图和左视图分别均为全等的等腰三角形、等腰梯形、矩形.
诊断自测
(在括号内打“√”或“×”)
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A=45°.( )
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.( )
解析 (1)反例:由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件,但不是棱柱.
(2)反例:如图所示图形不是棱锥.
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时,把x,y轴画成相交成45°或135°,平行于x轴的线还平行于x轴,平行于y轴的线还平行于y轴,所以∠A也可能为135°.
(4)正方体和球的三视图均相同,而圆锥的主视图和左视图相同,且为等腰三角形,其俯视图为圆心和圆.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(教材****题改编)如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分,其中EH∥A′D′.剩下的几何体是( )


解析 由几何体的结构特征,剩下的几何体为五棱柱.
答案 C
3.(2019·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的主视图与俯视图如图所示,则该几何体的左视图为( )
解析 先根据主视图和俯视图还原出几何体,①,故其左视图为图②.
答案 B
4.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
π
π
解析 法一 (割补法)由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得,如图所示.
将圆柱补全,并将圆柱体从点A,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×=63π.
法二 (估值法)由题意知,V圆柱<V几何体<V圆柱,又V圆柱=π×32×10=90π,
∴45π<V几何体<.
答案 B
△AOB的边长为a,建立如图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积是________.
解析 画出坐标系x′O′y′,作出△OAB的直观图O′A′B′(如图).D′为O′AD′B′=DB(D为OA的中点),∴S△O′A′B′=×S△OAB=×a2=a2.
答案 a2
考点一 空间几何体的结构特征
【例1】(1)给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )

(2)以下命题:
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;
③一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
其中正确命题的个数为( )
C.
解析 (1)①不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线;
②不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;③错误,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.
(2)由圆台的定义可知①错误,②③,只有平行于圆锥底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,③不正确.
答案 (1)A (2)B
,要善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例.
、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.
(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.
【训练1】给出下列命题:
①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;
②在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
③存在每个面都是直角三角形的四面体;
④棱台的侧棱延长后交于一点.
其中正确命题的序号是________.
解析 ①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形
,但不一定全等;②正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;③正确,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形;
④正确,由棱台的概念可知.
答案 ②③④
考点二 空间几何体的三视图(多维探究)
命题角度1 由空间几何体的直观图判断三视图
,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图,,它的俯视图可能是( )
解析 由直观图知,俯视图应为正方形,又上半部分相邻两曲面的交线为可见线,在俯视图中应为实线,因此,选项B可以是几何体的俯视图.
答案 B
命题角度2 由三视图判断几何体
【例2-2】(1)(2019·全国Ⅰ卷)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )


(2)(2019·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )

解析 (1)由题知,该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱.
(2)由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部,四棱锥为D-BCC1B1,最长棱为DB1,且DB1=
==2.
答案 (1)B (2)B
,.

(1)根据俯视图确定几何体的底面.
(2)根据主视图或左视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.
(3)确定几何体的直观图形状.
【训练2】(1)(2019·潍坊模拟)如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD的主视图与左视图的面积之和为( )

(2)(2019·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )
A.+1 B.+3 C.+1 D.+3
解析 (1)设点P在平面A1ADD1的射影为P′,在平面C1CDD1
的射影为P″,如图所示.
∴三棱锥P-BCD的主视图与左视图分别为△P′AD与△P″CD,
因此所求面积S=S△P′AD+S△P″CD
=×1×2+×1×2=2.
(2)由三视图可知,该几何体是半个圆锥和一个三棱锥的组合体,半圆锥的底面半径为1,高为3,三棱锥的底面积为×2×1=1,高为3.
故原几何体体积为:V=×π×12×3×+1×3×=+1.
答案 (1)B (2)A
考点三 空间几何体的直观图
【例3】有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________.
解析 如图1,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为E.
在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=.
又四边形AECD为矩形,AD=EC=1.
∴BC=BE+EC=+1.
由此还原为原图形如图2所示,是直角梯形A′B′C′D′.
在梯形A′B′C′D′中,A′D′=1,B′C′=+1,A′B′=2.
∴这块菜地的面积S=(A′D′+B′C′)·A′B′
=××2=2+.
答案 2+
,其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半,平行于x轴和z,一是已知原图形求直观图的相关量,二是已知直观图求原图形中的相关量.
,其面积与原图形的面积的关系:
S直观图=S原图形.
【训练3】已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.
解析 如图所示,作出等腰梯形ABCD的直观图.
因为OE==1,所以O′E′=,E′F=.
则直观图A′B′C′D′的面积S′=×=.
答案
基础巩固题组
(建议用时:25分钟)