行列式解法技巧论文.pdf

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1行列式的基本理论

定义行列式与矩阵不同,行列式是一个值,它是所有不同行不
同列的数的积的和,那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有
关,逆序数之和为偶数符号为正,逆序数之和为奇数符号为负。
这一定义可以写成
aaa
11121n
aaa
21222njjj
112naaa
1j2jnj,这里
12n
jjj
12n
aaa
n1n2nn

表示对所有n级排列求和.
jjj
12n

1、行列式的行列互换,行列式不变;
aaaaaa
11121n1121n1
aaaaaa
21222n1222n2

aaaaaa
n1n2nn1n2nnn
2、互换行列式中的两行或者两列,行列式反号;
Word文档:.
.
aaaaaa
11121n11121n

aaaaaa
i1i2ink1k2kn

aaaaaa
k1k2kni1i2in

aaaaaa
n1n2nnn1n2nn
3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数;
aaaaaa
11121n11121n

kakakakaaa
i1i2ini1i2in

aaaaaa
n1n2nnn1n2nn
4、行列式的某两行或者某两列成比例,行列式为零;
aaa
aaa11121n
11121n


aaaaaa
i1i2ini1i2in
k0
kakaka
i1i2inaaa
i1i2in


aaa
n1n2nnaaa
n1n2nn
5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和
时,行列式可拆另两个行列式的和。
aaa
11121naaaaaa
n121n11121n


bcbcbcbbbccc
1122nn12n12n

aaaaaa
aaan1n2nnn1n2nn
n1n2nn
6、把一行的倍数加到另一行,行列式不变。
7、行列式有两行(列)相同,则行列式为零。

Word文档:.
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D,ij
aAaA其中A为元素a代数余子式。

i1j1i2j2injn0,ijijij

AB
ADCA1B
CD
AB
3.AC
OC
AB
,则新的分块
行列式与原来相等。


aaa
11121n
0aa
222naaa(上三角行列式)
1122nn
00a
nn
a00
11
aa0
2122aaa(下三角行列式)
1122nn
aaa
n1n2nn

a00
11
0a0
22aaa
1122nn
00a
nn

aaa
11121n
aaa
D21222n满足aa(i1,2n,j1,2n),D称为对
ijji
aaa
n1n2nn
称行列式
Word文档:.
.
0aaa
12131n
a0aa
21232n
Daa0a满足aa(i,j1,2n),D称为反
31323nijji

aaa0
n1n2n3
对称行列式。若阶数n为奇数时,则D=0
1111
aaaa
123n
a2a2a2a2(aa)
n123nij
1jin
an1an1an1an1
123n
2行列式的计算技巧

0aa00
1213
aaaaa
2122232425
例1:计算行列式Daaaaa
3132333435
0aa00
4243
0aa00
5253
解:由行列式定义知D(1)(j,j,,j)aaa,且aaa0,所
12n
1j2jnj111415
12n
jj
1n
以D的非零项j,只能取2或3,同理由aaaaa0,因
4144451455
而jj只能取2或3,又因jj要求各不相同,故aaa项中至
4515j1j2j5
少有一个必须取零,所以D=0。

将行列式化为上三角形行列式计算步骤,如果第一行第一个元素
为零,首先将第一行(或第一列)与其它任一行(或列)交换,使第一行
第一个元素不为零,然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行,使
第一列除第一个元素外其余元素全为零,再用同样的方法处理除去第
Word文档:.
.
一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去,直至是它成为上三角形
行列式,这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。
abbb
babb
例2计算行列式Dbbab
n

bbba
解:各行加到第一行中去
1111
a(n1)ba(n1)ba(n1)b
babb
bab

Da(n1)bbbab
n

bba
bbba
1000
bab00
a(n1)bb0ab0a(n1)b(ab)n1

b00ab
例3计算行列式
123n1n
234n1
D34512

n12n2n1
解:从倒数第二行(-1)倍加到第n行
n(n1)
123n1n23n1n
2
11111n
01111n
1111n1将所有列加到第一列上
01111


11n111
01n111
Word文档:.
.
111n
111n
n(n1)111n(n1)0nn
第一行的(1)倍加各行上
22
1n11
n0n
111
n
n(n1)n0n(n1)
(1)n1
22
n
n0
n(n1)(1n)nn1
(1)2
2

除了较简单的行列式(如上、下三角行列式等)可以用定义直接
计算,少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外,一般行列式计
算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现
较多的零元素,然后直接用特殊的行列式的值来计算(如上(下)三
角行列式等)或利用按行(列)展开定理降低行列式的阶数。
ab00
11
0a00
2
例4计算n阶行列式 D.
00ab
n1n1
b00a
nn
解:按第1列展开得
Word文档:.
.
ab00b000
221
0a00ab00
322
Dab(1)n1 0ab0
1n33
00ab
n1n1
000a000b
nn1
n1
 aaa1bbb
.
12n12n



对于形如


的所谓箭型(或爪形)行列式,可以直接利用行列式性质化为三角或
次三角形行列式来计算,即利用对角元素或次对角元素将一条边消为
零。
1111
0021
例5计算行列式D.
n
0n101
n001
解:
111
cc1111
n2n12n
0020
n(n1)11
D 1n!(1)
2
n12n
cc
nn10n100
n000

Word文档:.
.


对于形如的所谓三对角行列式,可直接展开得到两


项递推关系DDD,然后采用如下的一些方法求解。
nn1n2
方法1如果n比较小,则直接递推计算
方法2用第二数学归纳法证明:即验证n=1时结论成立,设
nk时结论也成立,若证明n=k+1时结论也成立,则对任意自然数
相应的结论成立
方法3将DDD变形为DpDq(DpD),其
nn1n2nn1n1n2
中pq,pq由韦达定理知p和q是一元二次方程
x2x0的两个根。确定p和q后,令fxDpD,则利用
nn1
fnqfn1递推求出fn,再由DpDfn递推求出D。
nn1n
方法4设Dxn,代入DDD0得xnx0(称
nnn1n2
之为特征方程),求出其根x和x(假设xx),则Dkxnkxn,
1212n1122
这里k,k可通过n=1和n=2来确定。
12
000
100
0100
例6计算行列式D.
n
000
0001
解:将行列式按第n展开,有
D()DD,
nn1n2
DD(DD),
nn1n1n2
DD(DD),
nn1n1n2
Word文档:.
.
得DD2(DD)n2(DD)n
nn1n2n321
同理,得DDn,
nn1
(n1)n,;

所以Dn1n1
n,.



范德蒙行列式具有逐行元素递增的特点。因此遇到具有逐行(或
列)元素方幂递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时,可以考虑将其
转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值
111
x1x1x1
12n
例7计算行列式Dx2xx2xx2x.
1122nn

xn-1xn2xn-1xn2xn-1xn2
1122nn
解:把第1行的-1倍加到第2行,把新的第2行的-1倍加到
第3行,以此推直到把新的第n1行的-1倍加到第n行,便得范德蒙
行列式
111
xxx
12n
Dx2x2x2(xx)
.
12nij
nij1
xn1xn1xn1
12n

Word文档:.
.


对于形如,


的所谓Hessenberg型行列式,可直接展开得到递推公式,也可利用
行列式的性质化简并降阶。
123n1n
11
22
例8计算行列式D
n
n2(n2)
n1(n1)
解:将第1,2··n-1列加到第n列,得
n(n1)
123n1
2
11
D22
n

n2(n2)
n10
11
(n1)!
n(n1)2(1)n1
•(1)1n
2(n2)2
n1

将行列式的展开定理与行列式性质结合使用,即先利用性质将行
列式的某一行(或某一列)化成仅含一个非零元素,然后按此行(列)展
开,化成低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列
式直接计算出结果。
Word文档:.
.
1111
abcd
(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)
a2b2c2d2
a4b4c4d4
左边
1000
bacada
abacada
b2a2c2a2d2a2
a2b2a2c2a2d2a2
(b2a2)(b2a2)(c2a2)(c2a2)(d2a2)(d2a2)
a4b4a4c4a4d4a4
111
(ba)(ca)(da)bacaad
(b2a2)(ab)(c2a2)(ca)(a2d2)(da)
11
(ba)(ca)(da)(db)
(c2bcb2)a(cb)(a2bdb2)a(bd)
(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)
例9计算行列式
0aaaa
121n
aa0aa
D212n,其中n2,a0
ni
i1
aaaa0
n1n2
解:
2aaaaaaa
111121n

2aaaaaaa
D221222n
n

2aaaaaaa
nn1n2nn
2aa1
11
2aa1101111

22
01aaa

12n
2aa1
n
n
Word文档:.
.
2a
1
2a
2
2a1

1a1
2a10112a1

Dn2
n
1001aa
1n
a1
n
012a
n
n1n
1a1
22kn
(2)nak1(2)n2a(n2)2aa1

i1nnijk
i1a1i1j,k1
2j2
j1
(升阶法)
行列式计算的一般方法是降阶,但对于某些特殊的n阶行列式,
如除对角元(或次对角元)外,其余元素相同或成比例的行列式,有
1,0,...0T
时加上一行一列变成n+1阶的行列式,特别是第1列为并
适当选择第1行的元素,就可以使消零化简单方便,且化简后常变成
箭型行列式,这一方法称为升阶法或加边法
xaaaa
123n
axaaa
123n
例10计算n阶行列式Daaxaa.
n123n

aaaxa
123n
1aaa
1aa12n
1n1x00
0
解:Drr(i2,,n1)10x0
n1Di1
n
0
100x
Word文档:.
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na
1jaa
x1n
j1na
0x0xn1j

x.
j1

00x
(列)和相等的行列式
对于各行(或各列)之和相等的行列式,将其各列(或各行)加
到第1列(或行)或第n列(或行),然后再化简。
1110
1101
例11计算n阶行列式D
n
1011
0111
111n1
110n1
解:Dcc(i1,2n1)
nni
101n1
011n1
111n1
0010
rr(i2,3n)
i1
0100
1000
n(n1)(n2)(n1)
(1)2(1)(n1)(n1)(1)2(n1)
以下不作要求
(列)元素差1的行列式计算
Word文档:.
.
以数字1,2,··n为(大部分)元素,且相邻两行(列)元素差1
的n阶行列式可以如下计算:自第1行(列)开始,前行(列)减去
后行(列);或自第n行(列)开始,后行(列)减去前行(列),
即可出现大量元素为1或—1的行列式,再进一步化简即出现大量的
零元素。
对于相邻行(列)元素相差倍数k的行列式,采用前行(列)减
去后行(列)的—k倍,或后行(列)减去前行(列)的—k倍的步
骤,即可使行列式中出现大量的零元素。
1aa2an2an1
an11aan3an2
an2an11an4an3
例12计算n阶行列式D
n
a2a3a41a
aa2a3an11
解
1an0000
01an000
001an00
Drar(i1,2n1)(1an)n1
ii1
n
0001an0
aa2a3an11

0xyz1x111
x0zy11x11
例13计算行列式(1)(2)
yz0x111z1
zyx01111z
解:(1)由各列加上第一列可见,行列式D可被xyz整除。由
第二列加到第一列,并减去第三、四列可见,D可被yzx整除,由
Word文档:.
.
第三列加于第一列,并减去第二、四列可见,D被xyz整除。最后
由第四列加于第一列,并减去第二、三列可见,D可被xyz整除。
我们把x,y,z视为独立未知量,于是上述四个线性因子式是两两互素
的,因此,D可被它们的乘积(xyz)(yzx)(xyz)(xyz)整除。
此乘积中含有一项:z4,而D中含有一项:(1)c2z4z4
4
所以D(xyz)(yzx)(xyz)(xyz)
x4y4z42x2y22x2z22y2z2
(2)将行列式D的前两行和两列分别对换,得
1x111
11x11
D
111z1
1111z
如果以x代替x,又得原来形式的行列式。因此,如果D含有因
式x,必含有因式x,由于当x0时,D有两列相同,故D确有因式
x,从而D含有因式x2。同理D又含有因式z2,而D的展开式中有一
项:x2z2,从而Dx2z2
111
11x1
例14计算行列式:Dn

11(n1)x
解:由n阶行列式定义知,D的展开式是关于x的首项系数为
n
(1)n1的(n1)次多项式D(x),当xk(k0,1,2n2)时,D(k)0,因此
nn
n2
D(x)有n1个互异根0,1、2…n2由因式定理得(xk)|D(x)
nn
k0
n2
故D(1)n1(xk)
n
k0
Word文档:.
.

f(a)f(a)
111n
D
例15计算行列式n
f(a)f(a)
n1nn
其中f(x)(i1,n)为次数≤n2的数域F上多项式aa为F中
i1n
任意n个数。
解:若aa中有两个数相等,则D0
1nn
若aa互异,则每个n阶行列式
1n
f(x)f()f(a)
1121n
G(x)
是f(x),f(x)f(x)
12n
f(x)f(a)f(a)
nn2nn
的线性组合,据题f(x)的次数≤n2(i1n)因而G(x)的次数≤n2,
i
但G(a)G(a)0,
2n
这说明G(x)至少有(n1)个不同的根,故G(x)0,所以G(a)0即
1
D(x)0
n

abbb
cabb
例16计算行列式Dccab其中abcc
n

ccca
c
解:设f(x)ab(xx2xn1)且令xn0的n个根为
b
n
x(i1n),则Df(x)
ini
i1
cc
xnx
xnxbb
由f(x)ab()ab[]有
x1x1x1
Word文档:.
.
c
x
bi(ab)x(ca)
f(x)abi
ix1x1
ii
利用关系式xxxxxx0
iiji1i2i,n1
c
xxx(1)n1
12nb
n
[(ab)x(ca)]
n(ab)x(ca)i
得Dii1
nx1n
i1i(x1)
i
i1
c
(1)n1(ab)n(ca)n
c(ab)nb(ac)n
b

ccb
(1)n1(1)n
b
例17设f(x),(i,j1,2,,n)都是x的可微函数
ij
f(x)f(x)
111n
f(x)f(x)f(x)
11121n
df(x)f(x)f(x)ndd
证明:21222nf(x)f(x)
dxdxi1dxin
i1
f(x)f(x)f(x)
n1n2nn
f(x)f(x)
n1nn
证明:
f(x)f(x)f(x)
11121n
df(x)f(x)f(x)d
21222n[(1)(jjj)f(x)f(x)f(x)]
12n
dxdx1j12j2njn
j1jn
f(x)f(x)f(x)
n1n2nn
d
(1)(jjj)[f(x)f(x)f(x)]
12n
dx1j12j2njn
j1j2jn
dd
(1)(jjj)[f(x)f(x)f(x)(f(x)f(x)f(x)(f(x))]
12n
dx1j12j2njn1j12j2n1jn1dxnjn
j1j2jn
Word文档:.
.
dd
(1)(jjj)(f(x)f(x)f(x)(1)(jjj)f(x)f(x)f(x))
12n12n
dx1j12j2njn1j1n1jn1dxnjn
j1j2jnj1j2jn
ddd
f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)
dx11dx12dx1n11121n
ddd
f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)
21222ndx21dx22dx2nn


f(x)f(x)f(x)
n1n2nnf(x)f(x)f(x)
n1n2nn
f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)
11121n11121n
f(x)f(x)
2122f(x)n
2nddd
f(x)f(x)f(x)
f(x)f(x)f(x)dxi1dxi2dxin
n1,1n1,2n1,ni1
ddd
f(x)f(x)f(x)
dxn1dxn2dxnnf(x)f(x)f(x)
n1n2nn

例18设A与B为同阶方阵:
AB
证明:ABAB
BA
ABABBAAB0
证明:ABAB
BABABAB
例19设A为n阶可逆方阵,、为两个n维列向量,则
A(1A1a)A
AA
证明:A(1A1)
101A1
(n1)(n1)
例20若n阶方阵A与B且第j列不同。
证明:21nABAB
Word文档:.
.
abab
1111
abab
证明:AB2*222*2*22*2*22*

abanbn
nn
ab
11
2n1**2n1**2n1(AB)
anbn
∴21nABAB

例21设f(x)(ax)(ax)(ax),ab
123
aaa
1af(b)bf(a)
证明:Dbaa
2ab
bba
3
证明:构造出多项式:
axaxaxaxaaaa
1111
D(x)bxaxaxbxabab
22
bxbxaxbx0ab
33
aaaaa1aaaa
11111
bababx1abab
22
b0ab10ab
33
aaa1aaaa
113
baax1abab
22
bba10ab
33
D(x)DxD
1
a(a)00
1

当xa,D(a)baa(a)0(aa)(aa)(aa)DaDf(a)
21231
babaaa

3

ababab
1
当xb,D(b)0abab(ab)(ab)(ab)DbDf(b)
21231
00ab
3
Word文档:.
.
af(b)bf(a)
D
ab

x1000
0x100
例22证明:n级行列式D
000x1
aaaaax
nn1n221
证明:利用拉普拉斯展开定理,按第n行展开有:
10000x0000
x100001000
D(1)n1a(1)n2a
nnn1
0001000010
000x1000x1
x1000x