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最新考纲 了解n次独立重复试验的模型及二项分布.
知识梳理
(1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.
(2)性质:若事件A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立,P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A).
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,其中Ai(i=1,2,…,n)是第i次试验结果,则
P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).
(2)二项分布
在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.
[常用结论与微点提醒]
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算公式为P(AB)=P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为P(A∪B)=P(A)+P(B).
2.(1)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二:其一是独立性,即一次试验中,事件发生与不发生二者必居其一;其二是重复性,即试验是独立重复地进行了
n次.
(2),不放回抽取问题对应超几何分布,当总体数量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.
诊断自测
(在括号内打“√”或“×”)
(1)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).( )
(2)P(AB)表示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)·P(B).( )
(3)二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( )
解析 对于(2),若A,B独立,则P(AB)=P(A)·P(B),若A,B不独立,则P(AB)=P(A)·P(B|A),故(2)不正确.
答案 (1)√ (2)× (3)√
X~B,则P(X=3)等于( )
.
解析 X~B,由二项分布可得,
P(X=3)=C·=.
答案 A
,加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
.
解析 设事件A:甲实****生加工的零件为一等品;事件B:乙实****生加工的零件为一等品,且A,B相互独立,则P(A)=,P(B)=,所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=.
答案 B
,各次互不影响,则恰好有一次出现1点的概率为.
解析 掷一次骰子出现1点的概率为P=,所以所求概率为P=C··=.
答案
5.(2019·嘉兴测试)天气预报,端午节假期甲、乙、,,,若甲、乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响,则其中至少一个地方降雨的概率为.
解析 ∵甲、乙、,,,
∴甲、乙、,,,
甲、乙、××=,
故至少一个地方降雨的概率为1-=.
考点一 相互独立事件的概率
【例1】(2019·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
解 (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=××=,
P(X=1)=××+××+××=,
P(X=2)=××+××+××=,
P(X=3)=××=.
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)
=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)
=×+×=.
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
规律方法 (1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成,将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积,然后利用相关公式进行计算.
(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
【训练1】某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》,甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题,已知甲家庭回答对这道题的概率是,甲、丙两个家庭都回答错的概率是,乙、.
(1)求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答对这道题的概率.
解 (1)记“甲答对这道题”、“乙答对这道题”、“丙答对这道题”分别为事件A,B,C,则P(A)=,且有
即
所以P(B)=,P(C)=.
(2)有0个家庭回答对的概率为
P0=P()=P()·P()·P()=××=,
有1个家庭回答对的概率为P1=P(A+B+C)=××+××+××=,
所以不少于2个家庭回答对这道题的概率为P=1-P0-P1=1--=.
考点二 独立重复试验与二项分布
【例2】一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率.
解 (1)设“每盘游戏中击鼓三次后,出现音乐的次数为ξ”.依题意,ξ的取值可能为0,1,2,3,且ξ~B,则P(ξ=k)=C=C·.
又每盘游戏得分X
则P(X=10)=P(ξ=1)=C=,
P(X=20)=P(ξ=2)=C=,
P(X=100)=P(ξ=3)=C=,
P(X=-200)=P(ξ=0)=C=.
所以X的分布列为
X
10
20
100
-200
P
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),
则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.
所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1-P(A1A2A3)=1-=1-=.
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
规律方法 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k的三个条件:(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.
【训练2】某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;
(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列.
解 (1)记事件A1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”,
A2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”,
B为“顾客抽奖1次能获奖”,
则B表示“顾客抽奖1次没有获奖”.
由题意A1与A2相互独立,则与相互独立,且=·,因为P(A1)==,P(A2)==,
所以P(B)=P(·)=·=,
故所求事件的概率P(B)=1-P()=1-=.
(2)设“顾客抽奖一次获得一等奖”为事件C,
由P(C)=P(A1·A2)=P(A1)·P(A2)=,
顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,则X~B,
于是P(X=0)=C=,
P(X=1)=C=,
P(X=2)=C=,
P(X=3)=C=.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
基础巩固题组
一、选择题
1.(2019·金华调研)打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是( )
.
解析 因为甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,所以P(甲)=
,P(乙)=,所以他们都中靶的概率是×=.
答案 A
,则至少一次正面朝上的概率是( )
.
解析 三次均反面朝上的概率是=,所以至少一次正面朝上的概率是1-=.
答案 D
A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p,若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为,则p=( )
.
解析 由题意得(1-p)+p=,∴p=,故选B.
答案 B
,乙命中目标的概率是,,则目标被击中的概率为( )
.
解析 设甲命中目标为事件A,乙命中目标为事件B,丙命中目标为事件C,则击中目标表示事件A,B,CP(··)=P(A)·P(B)·