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:a0;
情势:f(x)a;f(x)a;f(x)a,f(x)a等价转化为
f(x)af(x)a或f(x)a;f(x)aaf(x)a
f(x)af(x)a或f(x)a;f(x)aaf(x)a
例1.(1)|2x-3|<5
解:-5<2x-3<5,得-1<x<4-------------------------转化为一元一次不等式
(2)|x2-3x-1|>3
解:x2-3x-1<-3或x2-3x-1>3---------------------转化为一元二次不等式
即:x2-3x+2<0或x2-3x-4>0
∴不等式的解为1<x<2或x<-1或x>4
(3)2x-3>1
x+2
--
解:2x3<-1或2x3>1--------------------绝对值不等式转化为分式不等式
x+2x+2
解之得:-2<x<1或x<-2或x>5
3
∴不等式的解为x<-2或-2<x<1或x>5
3
反思:(1)转化的目标在于去失落绝对值.(2)规范解答,可以避免少犯错误.
|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x),f(x)g(x)型不等式
(1)︱f(x)︱<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)
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(2)︱f(x)︱>g(x)f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)

(3)︱f(x)︱>︱g(x)︱f2(x)>g2(x);

(4)︱f(x)︱<︱g(x)︱f2(x)<g2(x)
例2.(1)|x+1|>2-x;
解:(1)原不等式等价于
x+1>2-x或x+1<-(2-x)---------------应用绝对值概念转化为整式不等式
11
解得x>或无解,所以原不等式的解集是{x|x>}
22
(2)|x2-2x-6|<3x
解:原不等式等价于-3x<x2-2x-6<3x
x22x63xx2x60(x3)(x2)0x3或x2
即
x22x63xx25x60(x1)(x6)01x6
即:2<x<6
所以原不等式的解集是{x|2<x<6}
(3)解不等式x12x3.
解:原不等式(x1)2(2x3)2(2x3)2(x1)20
4
(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<0x2.
3
解释:求解中以平方后移项再用平方差公式分化因式为宜.
:a,b0
xa
形如:af(x)b----------------转化为不等式组来解决
xb
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|2x-1|<5
|2x1|552x15
解:原不等式等价于
|2x1|12x11或2x11
2x3

x1或x0
∴原不等式的解集为{x|-2<x0或1x<3}
---------------(常常采用零点分段法来评论辩论)
例4:解不等式:|x-3|-|x+1|<1
解:原不等式等价于
x1x1
①无解
(x3)(x1)141
1x3
1x31
②1x3
(x3)(x1)1x2
2
x3x3
③x3
(x3)(x1)141
1
综上原不等式的解集为{x|x}
2
|x+3|-|2x-1|<x+1的解集为
2

例5(1)解关于x的不等式①xa(aR),②xa(aR)
解:∵aR,分类评论辩论如下
①Ⅰ当a0时,解集为,
Ⅱ当a0时,解集为{x|axa},
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②Ⅰ当a0时,解集为R,
Ⅱ当a0时,解集为{x|x0},
Ⅲ当a0时,解集为{x|xa或xa},
(2)解关于x的不等式2x31a(aR)
解:原不等式化为:2x3a1,在求解时因为a+1的正负不肯定,需分情形评论辩
论
①当a+10即a-1时,因为任何实数的绝对值非负,∴解集为
a4a2
②当a+1>0即a>-1时,-(a+1)<2x+3<a+1=><x<
22
综上得:①a1时,解集为;
a4a2
②a1时,解集为{x|x}
22
六:,与与恒成立问题
例6:若不等式|x-4|+|3-x|<a的解集为空集,求a的取值规模.
[解题]解法一
(1)当a≤0时,不等式的解集是空集.
(2)当a>0时,先求不等式|x-4|+|3-x|<a有解时a的取值规模.
令x-4=0得x=4,令3-x=0得x=3
①当x≥4时,原不等式化为x-4+x-3<a,即2x-7<a
x47a
解不等式组4x,∴a>1
2x7a2
②当3<x<4时,原不等式化为4-x+x-3<a得a>1
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③当x≤3时,原不等式化为4-x+3-x<a即7-2x<a
x37a7a
解不等式x33,∴a>1
72xa22
分解①②③可知,当a>1时,原不等式有解,从而当0<a≤1时,原不等式解集为空
集.
由(1)(2)知所求a取值规模是a≤1
办法二
∵a>|x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1
∴当a>1时,|x-4|+|3-x|<a有解
从而当a≤1时,原不等式解集为空集.
总结
(1):fxa有解afx;fxa解集为空集afx;这两者互
minmin
xa恒成立afx.
max
(2)fxa有解afx;fxa解集为空集afx;这两者互
maxmax
xa恒成立afx
min
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