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[学业达标练]
一、填空题
△ABC中,a=7,b=3,c=8,则其面积等于________.
[解析] 由余弦定理得cosA==,
∴sinA=,
∴S△ABC=bcsinA=×3×8×=6.
[答案] 6
,它的倾斜角是75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延伸________m.
【导学号:57452021】
[解析] 如图,在△ABC中,由正弦定理可知:=,
∴x=10(m).
[答案] 10
°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好km,那么x的值为________.
[解析] 如图所示,在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°.由余弦定理得()2=32+x2-2×3·x·cos30°,即x2-3x+6=0,解得x1=,x2=2,检验均符合题意.
[答案] 或2
,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km),如图1311所示,且B+D=180°,则AC的长为________km.
图1311
[解析] 在△ABC中,由余弦定理得AC2=82+52-2×8×5cosB,在△ACD中,由余弦定理得AC2=32+52-2×3×5cosD,由cosD=-cosB,并消去AC2得cosB=,所以AC=7.
[答案] 7
312所示,甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东______(填角度)的方向前进.
图1312
[解析] 由题意知,AC=BC,∠ABC=120°,
由正弦定理知,
=,
∴sin∠CAB=,
∴∠CAB=30°,
∴∠CAD=60°-30°=30°.
[答案] 30°
,且保持平衡,则两力的夹角θ的余弦为________.
[解析] 如图,由平行四边形法则可知,||=G,
在△AOB中,由余弦定理可得
||2=F2+F2-2F·Fcos(π-θ).
∵||=G,
∴2F2(1+cosθ)=G2,
∴cosθ=.
[答案]
313所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别是75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于________m.
【导学号:57452022】
图1313
[解析] 由题意可知,AC==120.
∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,所以sin∠ABC=sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=.
在△ABC中,由正弦定理得=,
于是BC===120(-1)(m).
[答案] 120(-1)
314,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=
,AB=3,AD=3,则BD的长为________.
图1314
[解析] ∵sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)
=cos∠BAD=,
∴在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD,
∴BD2=18+9-2×3×3×=3,
∴BD=.
[答案]
二、解答题
315,一条河自西向东流淌,某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在北偏东45°和北偏东30°方向,此人向东走300米到达B处之后,再看C,D,则分别在北偏西15°和北偏西60°方向,求目标C,D之间的距离.
图1315
[解] 由题意得,在△ABD中,因为∠DAB=60°,∠DBA=30°,所以∠ADB=90°,在Rt△ABD中,
因为AB=300,所以BD=300·sin60°=150,
在△ABC中,因为∠CAB=45°,∠ABC=75°,所以∠ACB=60°.由正弦定理得=,
所以BC=×=100,在△BCD中,因为BC=100,BD=150,∠CBD=45°,
由余弦定理得
CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=37500,所以CD=50.
答目标C,D之间的距离为50米.
316,在△ABC中,已知BC=15,AB∶AC=7∶8,sinB=,求BC边上的高AD.
图1316
[解] 在△ABC中,由已知设AB=7x,AC=8x,由正弦定理,得=,
∴sinC=×=,∴C=60°(C=120°舍去,否则由8x>7x,知B也为钝角,不符合要求).
由余弦定理,得(7x)2=(8x)2+152-2×8x×15cos60°,
∴x2-8x+15=0.
∴x=3或x=5,∴AB=21或AB=35.
在△ABC中,AD=ABsinB=AB,
∴AD=12或AD=20.
[冲A挑战练]
317,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,,,则该扇形的半径为________m.
图1317
[解析] 连结OC,在△OCD中,OD=100,CD=150,∠CDO=60°,由余弦定理可得
OC2=1002+1502-2×100×150×=17500,
∴OC=50.
[答案] 50
318,在离地面200m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,已知∠BAC=60°,则山的高度BC为________m.
图1318
[解析] 根据题意,可得在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=200,
所以AM==200.
因为在△MAC中,∠AMC=45°+15°=60°,
∠MAC=180°-45°-60°=75°,
所以∠MCA=180°-∠AMC-∠MAC=45°,
由正弦定理,得
AC===200,
在Rt△ABC中,BC=ACsin∠BAC=200×=300m.
[答案] 300
,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30nmile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船________触礁危险(填“有”或“无”).
[解析] 如图所示,由题意在△ABC中,AB=30,
∠BAC=30°,∠ABC=135°,所以∠ACB=15°,
由正弦定理,
得BC==
==15(+).
在Rt△BDC中,CD=BC=15(+1)<42.
所以此船有触礁的危险.
[答案] 有
319,在△ABC中,BC边上的中线AD长为3,且cosB=,cos∠ADC=-.
图1319
(1)求sin∠BAD的值;
(2)求AC边的长.
[解] (1)因为cosB=,所以sinB=.
又cos∠ADC=-,所以sin∠ADC=.
所以sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=×-×=.
(2)在△ABD中,由正弦定理,得=,即=,解得BD=2.
故DC=2,从而在△ADC中,由余弦定理,得
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC
=32+22-2×3×2×=16,所以AC=4.