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基本要求、重点难点
定积分的概念与性质
微积分基本定理
基本积分法
无穷区间上的反常积分
演示与实验四
基本要求
掌握切线、变速直线运动的速度抽象出的导数概念。
了解变量的“变化率”问题。
了解一元微积分的一元函数积分学。
掌握积分学在物理、天文、工程、地质、化学,以及生物学中的应用。
掌握微分与积分之间联系的重要结果——微积分基本定理,以及常用的积分方法和无穷积分的概念。。
重点难点
重点:
一元函数积分的法则。
微积分基本定理的使用。
难点:
定积分概念与性质、基本积分与无穷区间上的反常积分。
定积分的定义、定积分的计算和应用。
定积分的概念与性质
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设y=f(x)是定义在[a,b]上的非负连续函数。我们称曲线y=f(x)与直线 y=0、x=a、x=b围成的平面区域为曲边梯形,其中曲线y=f(x)为曲边(如图所示)。
(1)分割区间
在区间[a,b]内插入n-1个分点x1,x2,…,xn-1使
x0=a<x1<x2<…<xn-1<xn=b。
这些分点将区间[a,b]分成n个子区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n),记它们的长度为Δxi(i=1,2,…,n),用λ表示这些子区间的最大长度。显然, “窄曲边梯形”ΔSi(i=1,2,…,n),因此有S= ΔSi(如图(a))。
∑
n
i=1
(2)近似代替(以直代曲),求和
在[xi-1,xi]上任取一点ξi,用高为f(ξi),宽为Δxi的矩形面积近似代替“窄曲边梯形”面积ΔSi(i=1,2,…,n)。于是得曲边梯形的面积的近似值:
f(ξi)Δxi=Sn
如图(b)所示
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(3)取极限,求得面积精确值
可以看出,随着分割的越来越细,即λ→0,Sn对S的逼近程度越来越好,于是有
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微积分基本定理
由定积分的定义知道,定积分是一个仅与被积函数和积分限有关的确定的数。当我们固定被积函数与积分下限时,定积分随着积分上限的变化而变化,它是积分上限的函数,我们把它记作S(x),即
从几何意义上看,S(x)表示区间[a,x]所对应的曲边梯形的面积,它随x的变化而变化(如图)。
(微积分第一基本定理)
若函数f(x)在[a,b]上连续,则积分上限
函数g(x)= f(t)dt在[a,b]上可导,且有
g′(x)=f(x)。其中x∈[a,b],x0为[a,b]内任意取定的一点。
∫
x
x0