高等数学(下)期末考试试卷1.pdf

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学年第二学期使用班级级
学院班级学号姓名
题号一二三四五六七A总分
得分
一、填空题(本题4小题,每空3分,满分12分,把正确答案填在题后的横线上)
..233r
1、交换积分次序(小工f(x,y)dy+^=。
2、z=e疝町,则&二。
3、设5:/+/+22=/?2,则刊尤2as=»
S
x
4、设某二阶常系数齐次线性微分方程以y=Cte-+。20标为通解,则该二阶常系数齐次线性微
分方程为。
二、选择题(本题共3小题,每小题3分,满分9分,每小题给出四个选项,把正确答案填在题
后的括号内)
001.
1、设常数上>0,则级数£(—1)"[]
Mn
(A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(。)敛散性与左的取值有关。
xy12八
—―7,厂+ywO
2、函数/(乂封=产2+>2在原点(0,0)处[J
0,x2+丁=0
(A)连续,偏导数存在;(B)连续,但偏导数不存在;
(C)不连续,但偏导数存在;(。)不连续,偏导数也不存在。
3、设V:炉+丁+Z?4R2,则+y2+z?dv为[]
V
(A)^-;(B)亦&;(C)^-;(。)2成I
三、计算(每小题6分,共30分)
1z
1、设z=—/1(町,)+yg(x+y),其中£g具有二阶连续的导数,求1r
xoxoy
2、计算/=JJ(x2+y2+2y)如加,其中。是由圆V+y2=2%围成的平面区域。
D
3^求[(/siny-y+x)公+(e*cosy+y)dy,其中L为圆周y=,2办一x?上从点A(2a,0)
到点0(0,0)的一段弧。
4、求曲面"—z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程。
2
5、求幕级8数n^4-14"的收敛域与和函数。
四、解答下列各题(本题共4小题,每小题每题6分,共24分)
77f)z
1、设函数z=z(x,y)由/(1+―,y+—)=0确定,求一。
yxdx
2、求函数Z=xe2,在点P(1,O)处沿从点P(1,O)到点Q(2,—l)的方向的方向导数。
3、设丁=武幻满足方程y"-3了+2y=2",且其图形在点(0,1)与曲线y=/一》+1相
切,求函数y(x)。
4、将函数/(x)=W(TWxWl)展开成以2为周期的傅立叶级数。
五、(本题满分8分)求函数Z=f+y2-12x+16y在区域V+y2425上的最大值与最小值。
六、(本题满分9分)已知曲线积分勿3卜公-火工)办与路径无关,且0(0)=0。
(1)求°(x);(2)计算'je*+2p(x)]ydx-(p(x)dy的值。
七、(本题满分8分)计算Jjaxdy:z:(z:a)Fdy,其中工为下半球面z=—储二7f
工+y2+z2
的下侧,。为大于零的常数。
高等数学(下)期末试卷(A)
参考答案
一、填空题:
1、I)◎J9,/(%,y)公;2、es,nxycosAy(ydx+xdy);
二、选择题:
1、B;2、C;3、B
三、计算:
1、解:
当=--T/(孙)+-f'(xy)+yg'(x+y)
(3分)
OXXX
2
dz
=W”(盯)+g'(x+y)+yg"(x+y)。(3分)
dxdy
2、解:
根据对称性,JJ(x2+/+2y)dcr=jj(x2+V)dcr,(2分)
DD
作极坐标变换1一,则一一<^<-,0<r<2cos^,(2分)
y=rsin^22
344
原式=£珂:""rdr=小cos6d6==SxI4
~2~2
c31乃3万“八、
=8x—X—X—=—o(2分)
4222
3、解:
添加直线段右:瓦,则
原式=(£/-£)(exsiny-y+x)dx+(excosy+y)dy(4分)
22
=\\dxdy-^xdx=—a-2ao(2分)
o02
4、解:
F(x,y,z)=ez-z-^-xy-3,则
Fx=y,F、.=X,£=,-1,"={y,x,e=-l}|={L2,0},(4分)
所以所求切平面为(x—2)+2(y—1)=0,即x+2y—4=0。(1分)
x—2V—1z—0
所求的法线方程为=」=土上。(1分)
120
5、解:
因为lim|^-|=1,所以累级数的收敛半径为R=1,
”一>8Q
又因为当X=±\时级数发散,所以该幕级数的收敛域为(-1,1)O(2分)
00001
=yH+£—x〃=xn
nx七+J:Zx~'dx
、急
xx—
—ln(l—x),(1<x<1)o(4分)
1-X)Jol-x(1)2
四、解答下列各题:
1、解:
设叭x,y,z)=F(x+—,y+~),
yx
_口/Z、_1_1
(px=FI+F2(F),9z=F\TF厂,(3分)
xyx
故里=_区=x2yF,-yzF
2(3分)
2
dx(pzxFx+xyF2
2、解:
PQ={1,-1},\PQ\=42,(1分)
(2分)
(2分)

=—cosa+—sina=
~dldxdyy/2dx72dy
~^e2y--^2xe2y=^(l-2x)e2y
V2V2V2
函数z=xe2"在点P(1,0)处沿从点P(l,0)到点Q(2,-l)的方向的方向导数为
(2分)
3、解:
由条件知y=y(x)满足y(0)=1,y'(0)=T。(1分)
由特征方程户一3/•+2=0=>q=1,弓=2,
对应齐次方程的通解ynGe,+Ge''。(2分)
设特解为y*=Ax",代入方程,得4=-2,,则特解为y*=-2x/
从而得通解y=G"+一2xe*,(2分)
代入初始条件得Cj=l,c2=0,
则y(x)=(1—2x)/。(1分)
4、解:
所给函数在[-1,1]上满足收敛定理条件,将其延拓成以2为周期的函数时,它在整个
实轴上均连续,因此其付立叶级数在内收敛于函数本身。
1
%=2/xdx=1,
o
an=2jxcasnTixdx=三(与
bn=0(n=1,2,…)o(4分)
]?00(一1)〃-1
f(x)=—+—-----——cosn/rx(-l<x<l)o(2分)
27Tn=\n
五、解:
z=2x-12=0
由C“八,得驻点(6,-8),但该驻点不在区域/9+y29425内,所以最值只能在
zy=2^+16=0
/+y2=25达到。(3分)
设/=x2+y2-12x+16y+/L(%2+y2—25),
Fv=2x-12+2Ax=0
由(々=2尸16+2加=0,得(x,y)=(—3,4),(3,—4),(3分)
x2+y2-25=0
代入目标函数,比较得最小值Z,4)=75,最大值z|(3,4)=125。(2分)
六、解:
由当=孚,得(x)+2/(幻=一
则/(x)=e,2'"Idx,「
dx+C=Ce-2x--ex
3
因为F(0)=0,所以c=;,
则〃x)=g(e-2,/).(5分)
故+2/(必必一/(%)办=£0仆]:;("2-e)dy
=_;("2-e).(4分)
七、解:
取为xoy面上的圆盘,+>2<],方向取上侧,则
■Wz+(z+a)"d)L/加Wz+(z+4斓y
胪22
+y-+z
gaxdydz+(z+4dxdy-jjaxdydz+(z+万dxdy,(4分)
a
JJj(2z+3a)dv-a2jjdxdy
a
CDxy
2词Mrcos^96(pd(p+3cli兀/-a1兀a?
a0£0
4
加a347ia
4^-jcos^sin(pd(p\rdr-\-7ia----+万。4-7iai.(4分)
a71oa22
2