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高考数学重点难点复习:函数中的综合问题.pdf

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高考数学重点难点复习:函数中的综合问题.pdf

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函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活
***生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,
掌握基本解题技巧和方法,并培养考生的思维和创新能力.
・难点磁场
(★★★★★)设函数式X)的定义域为R,对任意实数x、y都有«r+y)寸a)4yU),当x>0时
/)<0且八3)=-4.
(1)求证:/U)为奇函数;
(2)在区间[—9,9]上,求_/(x)的最值.
・案例探究
[例1]设兀0是定义在R上的偶函数,其图象关于直线X=1对称,对任意X|、X2C[0,g],
都有犬X|+X2)5X|),/2),且/U)=a>0.
(1)求八!)、/(!);
24
(2)证明40是周期函数;
⑶记a„=fin+――),求lim(Ina).
2〃n-»oon
命题意图:本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,
还考查运算能力和逻辑思维能力.
知识依托:认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件兀11+'2)力修)・凡切找到问题
的突破口.
错解分析:不会利用人制+通)力>|)•犬应)进行合理变形.
技巧与方法:由於1+*2)引为)•於2)变形为/(X)=吗+|)=/(|)-/(|)-/(|)是解决
问题的关键.
(1)解:因为对[0,g],都有回+用)刁■)•©),所以段)=吗+/=吗)>
0,
XG[0,1]
又因为川Lxg)]2
式J)="(;)]2
244444
又川)=">0
1-11
'-f(-)=a2
24
(2)证明:依题意设y4(x)关于直线x=l对称,故Ax)=i/(1+1—x),即/(x)与(2—x),xdR.
又由凡於是偶函数知八-x)4(x),xGR
,八-x)42—x),xeR.
将上式中一x以x代换得兀g/U+2),这表明於上的周期函数,且2是它的一个
周期.
(3)解:由⑴知兀[0,1]
3)4乙+("-1)•/<("-1)•1)
22n2n2n2n2n
f
=*)•底)..(三)
1i
A)1n=^2
=L—2n
i4
•'-A—)=«2n.
又・・・«r)的一个周期是2
11—
2n
•9•f(2n+二)可丁),因此an=a
2n2n
lim(lna)=lim(—Ina)=0.
n—>conn—>oo2n
[例2]甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,
已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度
v(km/h)的平方成正比,比例系数为固定部分为a元.
(1)把全程运输成本),(元)表示为i,(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
命题意图:本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识,还考查学生综合运用
所学数学知识解决实际问题的能力.
知识依托:运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.
错解分析:不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题,易忽略对参变量的限制条件.
技巧与方法:四步法:(1)读题;(2)建模;(3)求解;(4)评价.
解法•:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为士,全程运输成本为
v
y=a,­+bv2,—=5(—+bv)
vvv
.•.所求函数及其定义域为y=S(-+fev),ve(0,c].
V
(2)依题意知,S、〃、氏u均为1E数
:.S(-+bv)^2Syfab①
当且仅当3=如即V=J3时,①、£Wc则当¥=、£时,有),min;
vVbVbVb
若>c,则当u£(0,c]时,有S(—+bv)—S(—+hc)
Vbvc
=S[(———)+(/?v­/?(?)]=—(c—v)(a—bcv)
vcvc
Tc—u20,且c>bc2,..a—bcv^a—/?c2>0
...5(3+6)>5(q+玩),当且仅当片。时等号成立,也即当V=C时,有ymin;
Vc
综上可知,为使全程运输成本y最小,当中Wc时,行驶速度应为丫=华,当草“
时行驶速度应为v=c.
解法二:(1)同解法一.
(2):函数产x+与色>0)46(0,+8),当;^(0,〃)时,y单调减小,当XG(",+8)时y
X
a
单调增加,当x=VT时y取得最小值,而全程运输成本函数为y=Sb(v+e),i,e(0,c].
V
:.当聆Wc时,则当v=旧时,y最小,若聆"时,则当口时,.
♦锦囊妙计
在解决函数综合问题时,要认真分析、处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的
知识和方法逐步化归为基本问题来解决,尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想
,必须全面掌握有关的函数
知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件.
・歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数产x+a与y=log«x的图象可能是()
2.(*****)定义在区间(-8,+8)的奇函数八x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,+8)
的图象与人x)的图象重合,设”>相>0,给出下列不等式:
—/(-a)>g(a)—g(—b)②/仍)一八-a)<g(a)—g(—b)***@j(a)—fi—b)>g(b)—g(—a)
***@f(a)—f(—h)<g(b)—g(—a)
其中成立的是()
A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④
二、填空题
3.(***初若关于x的方程242%+“+1=0有实根,则实数a的取值范围是.
三、解答题
4.(★★★★)设a为实数,函数/(xAf+lx—al+1/GR.
(1)讨论/(x)的奇偶性;
(2)求y(x)的最小值.
|1—Y
5.(*****)设«¥)=----4-lg——-.
x+11+x
(1)证明:/U)在其定义域上的单调性;
(2)证明:方程r(x)=0有惟一解;
(3)解不等式/[x(x—g)]<g.
6.(*****)定义在(-1,1)上的函数八x)满足①对任意x、yG(—1,1),都有
/)t/W)手三上);②当xH—1,0)时,有/W>0.
1+xy
求证:吗)+/(2)+…+/(;7T7TA吗).
7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水
处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,
中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,
且池无盖).
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式,并指出其定义域.
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最低总造价.
8.(*****)已知函数式X)在(-8,0)U(0,+8)上有定义,且在((),+8)上是增函数,
1)=0,Xg(<^)=sin20—mcos0—2m,0E.],设知={〃必(0GR},A^={tn\f[g(夕)]
<0},求MAN.
[学法指导]怎样学好函数
学****函数要重点解决好四个问题:准确深刻地理解函数的有关概念:揭示并认识函数与
其他数学知识的内在联系;把握数形结合的特征和方法;认识函数思想的实质,强化应用意
识.
(一)准确、深刻理解函数的有关概念
概念是数学的基础,而函数是数学中最主要的概念之一,函数概念贯穿在中学代数的始
、式、方程、函数、排列组合、,高考试
题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.
(二)
念,是变量数学的基础,利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲
,动与静、变量与常量如此生动的辩
证统一,函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.
所谓函数观点,:(1)原始
意义上的函数问题;(2)方程、不等式作为函数性质解决;(3)数列作为特殊的函数成为高考
热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射,作为基本语言和工具出现在试题中.
(三)把握数形结合的特征和方法
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义
域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既
要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象
的平移变换、对称变换.
(四)认识函数思想的实质,强化应用意识
函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数关系,
,考查函数思想方法尤其是应用题力度加大,因此一定
要认识函数思想实质,强化应用意识.
参考答案
难点磁场
(1)证明:令x=y=O,得叫0)=0
令y=一耳得x),即八—x)=一/(x)
是奇函数
(2)解:1°,任取实数朴[-9,9]且工1<^2,这时,外一*1>0/'|)—/(》2)寸[(勺一检)+工2]
—X2)+/(X2)—/(X])=-j[x2—X1)
因为x>0时段)<(),••.加|)—/2)>0
;.於)在[-9,9]上是减函数
故人x)的最大值为人-9),最小值为犬9).
而火9)M3+3+3)=浜3)=-124-9)=-A9)=12.
.../U)在区间[—9,9]上的最大值为12,最小值为-12.
歼灭难点训练
一、:分类讨论当。>1时和当OVaVl时.
答案:C
:用特值法,根据题意,可设_/(x)=x,g(x)=W,又设a=2力=1,
则fia)=a,g(a)=\a\/ib)=b,g(b)=\b\f(a)—fib)=fl2)-1)=2+1=3.
g(b)—g(—a)=gW­g(—2)=1—2^—1.:.f(a)—J[-b)>g(l)—g(—2)=1—2=~l.
又/(b)一式一。)=41)-A—2)=1+2=3.
g(a)~g(-b)=g(2)—g(1)=2—1=1,-fi-a)=g(a)—g(—b).
即①与③成立.
答案:c
二、:设2'=>0,则原方程可变为,+m+a+i=o①
A=a2-4(4+1)20
方程①有两个正实根,贝|JT]+弓=一。>0
八•=〃+1>o
解得:〃£(—1,2—2亚].
答案:(一1,2-272|
三、:⑴当a=0时,函数八-x)=(一%y+|一出1口㈤,此时段)为偶函数;当aWO时,
%)=“2+1区一032+2|屈+1区一4)壬椒派一“)不一加).此时函数府)既不是奇函数也不是偶
函数.
131
(2)①当xWa时,函数/(x)=f—x+a+l=(x——尸+°+二,若aW一,则函数段)在(-8,0|上
242
单调递减,从而,函数兀0在(-8,4]上的最小值为八/=〃2+[.
1131
若心,,则函数式x)在(一8,而上的最小值为y(5)=i+”,且式m)W/(a).
131
②当时,函数於)=f+x—a+l=(x+/)2—a+7当〃W—]时,则函数«x)在
1311
)上的最小值为且人一一)(/(〃).若a>――,则函数人4)在[凡+8)上单调递
2422
增,从而,函数«¥)在上的最小值为加)=/+1.
综上,当"W一上1时,函数ZU)的最小值是士3一〃,当一上1<〃<1上时,函数7U)的最小值
2422
13
是L+1;当”>一时,函数九x)的最小值是。+2.
24
]—XA
5.(1)证明:由得/(x)的定义域为(一1,1),易判断共外在(一1,1)内是减函数.
x+2#0
(2)证明:•/())=kg)=0,即x=g是方程广乜)=)=0还有
另一个解沏弓,则/|(珀=0,由反函数的定义知网)=Xo#g,与已知矛盾,故方程/'(x)=0
有惟一解.
(3)解:fLx(X—y)]<3,即/[>(工-3)]</(0).
=工3—4
x(x-1)>0424
:对©+©4底)=。,得的)=。,再令尸一x,又得阿+犬一
冗)=的)=0,即次一x)=1/W,,危)在无£(一1,1)〈两。2<0,则加1)一/(入羽3期一
x-x
X2)=fiF—1V工1Vx2V0,/.修一必V0,1—XiX?>0.}2vo,于是由②知
1-X|X21-xxx2
人,——)>0,从而於])—AM)〉。,即/UDRU2),故於)在x0(一1,0)
1-x1x2
函数的图象关于原点对称,知犬外在x£(O,l)上仍是递减函数,且兀0<0.
1
(〃+1)5+2)
〃7月)=/%+1)5+2)-尸〃1J
(〃+1)(〃+2)
11
=/(n+\w+,2)=/心)_/(\
111〃+1〃+2
1------------
n+1n+2
.-./(-)+/(—)+---+/(^—1——)
5/11n2+3n+\
+-••+[/(磊)一〃七)]=吗一〃*\
vO<—<1时而(工)<0,
/+2〃+2
/4)-/(—=)>故原结论成立.
2〃+22
:⑴因污水处理水池的长为x米,则宽为一米,总造价尸400(2r+2X—)+248X—
XXX
324
X2+80X200=800(x+——)+1600,由题设条件
x
0<x<16,
■,即函数定义域为[,⑹.
0<----<16
x
324
(2)先研究函数产心)=800(工+---)+16000在[,16]上的单调性,对于任意的xx
xh2
11324
£[,16],不妨设为〈孙则犬必)一大修)=800[(必一勺)+324(-------)]=800(冷一为)(1———),
七xx
X2}2
12324324
.;.0<x,x2<16<324,.\——>1,即----)
XX
X|X2l2
V0,即於2)V於1),故函数产於)在[,⑹上是减函数.・••当后16时,y取得最小值,此时,
324200200
y=800(16+——)+16000=45000(元),——=——=(米)
min16x16
综上,当污水处理池的长为16米,,总造价最低,最低为45000元.
:是奇函数,且在(0,+8)上是增函数,・・.兀¥)在(—8,0)上也是增函数.
又川)=0,,大-1)=一川)=0,从而,当於)<0时,有了<—1或0<4<1,
则集合心夕)]<夕=}={〃必(J)V—1或0Vg(夕)<1},
;・MCN={mlg(®)V—1}.由且(夕)V—1,得cos2〃>m(cos0—2)+2,0e[(),/],令克=cos
°nG[0,1]得:x2>m(x—2)+2^^[0,1],令①:乃=?,工£[0,1]及②力二加(加-2)+2,显然
①为抛物线一段,②是过(2,2)点的直线系,在同一坐标系内由xe[0,1]得四>乃・・・・〃>4
—2V2MC\N={m\m>4—2y/2}.