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2022届衡水中学高三第三次质检数学(理)试题(解析版)
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2022届衡水中学高三第三次质检数学(理)试题一、,,那么()
.【答案】B【解析】求出集合A={x|x<1},B={x|ex<1}={x|x<0},从而={x|x≥0},={x|x≥1},由此能求出结果.【详解】∵集合A={x|x<1},B={x|ex<1}={x|x<0},={x|x≥0},={x|x≥1},∴A∩B={x|x<0},故A错误;
A∪B={x|x<1},故C错误;
,故B=正确;
,.【点睛】此题测验集合与集合的关系的判断,测验补集、交集、并集等根基学识,测验运算求解才能,测验函数与方程思想,,若,那么()
【答案】C【解析】根据复数的除法运算得到,再由复数相等的概念得到参数值,进而得到结果.【详解】为虚数单位,若,.【点睛】这个题目测验了复数除法运算,以及复数相等的概念,,:分别分开出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组),那么实数()
.【答案】D【解析】由图像,根据向量的线性运算法那么,可直接用表示出,进而可得出.【详解】由题中所给图像可得:,又,【点睛】此题主要测验向量的线性运算,熟记向量的线性运算法那么,即可得出结果,(x)=sin(x+)+cos(x−).【答案】A【解析】由诱导公式可得,那么,.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为的形式,再借助三角函数的图像研究性质,解题时留神查看角、函数名、,被誉为“东方模板”,它是由五块等腰直角三角形、,若在此正方形中任取一点,那么此点取自黑色片面的概率为()
.【答案】C【解析】分析:由七巧板的构造,设小正方形的边长为1,:设小正方形的边长为1,可得黑色平行四边形的底为高为;
黑色等腰直角三角形的直角边为2,斜边为2,大正方形的边长为2,所以,:此题主要测验几何概型,由七巧板的构造,设小正方形的边长为1,通过分析查看,求得黑色平行四边形的底和高,以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长,进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和,再将黑色片面面积除以大正方形面积可得概率,,且,函数,那么“”“是在上单调递减”的()
【答案】C【解析】先将函数转化为y=logat,t=,两个根本函数,再利用复合函数求解.【详解】,且,,,.【点睛】此题主要测验复合函数,关键是分解为两个根本函数,利用同增异减的结论研究其单调性,再求参数的范围,,并且对任意,().【答案】A【解析】利用已知条件推出,判断函数的图象,推出选项即可.【详解】由题对于给定函数的图象在以下四个选项中,并且对任意,,所以在上都成立,即,.【点睛】此题测验函数图象的判断,数列与函数的关系,,其中主视图,左视图均是由高为2三角形构成,俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成,那么该几何体的体积为()..【答案】A【解析】由三视图知该几何体由底面边长是,高为的正三棱锥和底面半径是高为的圆锥组合而成,利用锥体的体积公式可得结果.【详解】由三视图知该几何体由底面边长是,高为的正三棱锥和底面半径是,高为的圆锥组合而成,正三棱锥的体积是,圆锥的体积是,所以组合体的体积,应选A.【点睛】此题利用空间几何体的三视图重点测验学生的空间想象才能和抽象思维才能,,“翻译”成直观图是解题的关键,不但要留神三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要更加留神实线与虚线以及一致图形的不同位置对几何体直观图的影响,对简朴组合体三视图问题,先看俯视图确定底面的外形,根据正视图和侧视图,、右焦点分别为,,,过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为,已知,,点是双曲线右支上的动点,且恒成立,那么双曲线的离心率的取值范围是().【答案】A【解析】令x=c代入双曲线的方程可得,由,可得,即为3a22b2=2(c2−a2),即有①又恒成立,由双曲线的定义,可得2a+|PF2|+|PQ|3c恒成立,由F2,P,Q共线时,|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=,可得3c2a+,即有②由e1,结合①②可得,e的范围是(1,).应选::解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式,建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、,那么的取值范围是().【答案】D【解析】由题意,作出不等式组对应的可行域,根据的图象是过点,斜率为的直线,结合图象,即可求解.【详解】由题意,实数得志,即,作出约束条件所表示的平面区域,如下图,又由于函数的图象是过点,斜率为的直线,要使得不等式恒成立,即恒成立,结合图象可知,当直线过点时,斜率取得最小值,所以实数的取值范围是,应选D.【点睛】此题主要测验了简朴线性规划的应用,其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组,作出约束条件所表示的平面区域,再根据斜率公式求解是解答的关键,着重测验了数形结合思想,,,,直线与底面所成角为,那么此时三棱锥外接球的外观积为()
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.【答案】A【解析】取的中点,判断为三棱锥外接球的球心,即可求出结果.【详解】取中点,那么,,,由于直线与底面所成角为,所以,由于,所以,即为三棱锥外接球的球心,由于,所以,【点睛】此题主要测验几何体外接球的相关计算,熟记球的外观积公式即可,,当时,,那么函数在上的全体零点之和为()
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【答案】B【解析】由已知可分析出函数是偶函数,那么其零点必然关于原点对称,故在上全体的零点的和为,那么函数在上全体的零点的和,即函数在上全体的零点之和,求出上全体零点,可得答案.【详解】解:函数是定义在上的奇函数,.又函数,,函数是偶函数,,函数在上全体的零点的和,,,即函数在上的值域为,当且仅当时,又当时,函数在上的值域为,函数在上的值域为,函数在上的值域为,当且仅当时,,函数在上的值域为,当且仅当时,,故在上恒成立,在上无零点,同理在上无零点,依此类推,函数在无零点,综上函数在上的全体零点之和为8应选:.【点睛】此题测验的学识点是函数的奇偶性,函数的零点,函数的图象和性质,其中在探索上零点个数时,难度较大,、.【答案】【解析】由定积分的几何意义可得:.【答案】15【解析】写出开展式的通项,求出含及的项,那么答案可求.【详解】解:
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,得;
由,得(舍;
由,:.【点睛】此题主要测验了二项式定理的应用问题,解题时应生动应用二项开展式的通项公式,,在点处的切线与轴分别交于点,若的面积为,那么_________________。
【答案】2【解析】设出直线的方程,设出点的坐标,求得过的切线方程,由此求得的坐标,代入三角形的面积公式列方程,解得点的坐标,根据抛物线的定义求得的值.【详解】由题意,焦点,设直线,不妨设为左交点,,那么过的切线为,那么,所以,解得,那么,根据抛物线的定义可得.【点睛】本小题主要测验直线和抛物线的位置关系,测验抛物线的切线方程,测验抛物线的定义,,其中,若,那么的最大值为_______.【答案】【解析】由于,且为钝角,故,由正弦定理得,、,,数列的前项和为,,.(Ⅰ)求数列,的通项公式;
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(Ⅱ)若数列得志,,求的值.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:
(I)设等差数列{an}的公差为d,利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可首项和公差,即可求出数列{an}的通项公式,再根据数列的递推公式可得所以{bn}为首项为1,公比为4的等比数列,即可求出数列{bn}的通项公式(II)根据数列的递推公式先求出{cn}的通项公式,:(Ⅰ),,,,当时,,,以上两式相减得,那么,又,所以,.所以为首项为1,公比为4的等比数列,所以.(Ⅱ)由于,当时,,以上两式相减得,所以,.当时,,所以,不符合上式,,在口中,,沿将翻折到的位置,使平面平面.(1)求证:平面;
(2)若在线段上有一点得志,且二面角的大小为,求的值.【答案】(1)证明见解析.(2).【解析】试题分析:(1)中由余弦定理可知,作于点,∵从而得证;
(2)以为原点,以方向为轴正方向建立如下图空间直角坐标系,由二面角的大小为60°:
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(1)中,由余弦定理,可得.∴,∴,∴.作于点,∵平面平面,平面平面,∴平面.∵平面,∴.又∵,,∴∵平面,∴.又,,∴平面.(2)由(1)知两两垂直,以为原点,以方向为轴正方向建立如下图空间直角坐标系,那么,,.设,,那么由,,∴.∵,∴.,每位同学从中随机抽取3个题目举行作答,已知这6个题目中,甲只能正确作答其中的4个,而乙正确作答每个题目的概率均为,且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率;
(2)若甲、乙两位同学答对题目个数分别是,,由于甲所在班级少一名学生参赛,故甲答对一题得15分,乙答对一题得10分,求甲乙两人得分之和的期望.【答案】(1);
(2)50【解析】(1)由题意可知共答对3题可以分为3种处境:甲答对1题乙答对2题;
甲答对2题乙答对1题;
、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率.(2)的全体取值有1,2,,由此能求出,由题意可知,,得.【详解】解:(1)由题意可知共答对3题可以分为3种处境:甲答对1题乙答对2题;
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甲答对2题乙答对1题;
(2)的全体取值有1,2,3,,,故由题意可知,,所以【点睛】此题测验概率的求法,测验离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,测验古典概型、二项分布等根基学识,测验运用求解才能,测验函数与方程思想,,已知定点,点在轴上运动,点在轴上运动,点为坐标平面内的动点,且得志,.(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过曲线第一象限上一点(其中)作切线交直线于点,连结并延长交直线于点,求当面积取最小值时切点的横坐标.【答案】(1);
(2)
【解析】(1)设点,,,由已知条件推导出点,,由此能求出动点的轨迹的方程;
(2)分别求出切线与的方程,求得,的纵坐标,写出三角形的面积,利用导数求解当△面积取最小值时切点的横坐标.【详解】解:(1)设,,.由于,,所以,,,所以.(2)
或或由于为曲线上第一象限的点,那么过(其中)作曲线的切线,那么切线的斜率所以切线:,将代入得,直线:,将代入得,,由于在抛物线上且在第一象限,所以,所以,设,,,,.【点睛】此题测验点的轨迹方程的求法,测验斜率和相等的证明,解题时要专心审题,.(1)当时,议论函数的单调性;