第六章矩阵分析及其应用.ppt

文档介绍：第六章
矩阵分析及其应用
虽然在微积分开端时期贝克莱将无穷小称为“上帝的幽灵”,进而导致“第二次数学危机”,直到柯西的“极限论”和戴德金等的“实数理论”的出现危机才算彻底解决。但微积分在近代社会的巨大作用我们早已深有体会,将微积分中的极限、导数、积分、级数等分析思想和方法应用于矩阵的研究,自然就在情理之中。
§1、矩阵序列与矩阵级数
微积分的基础是数列极限的收敛理论及其衍生出来的级数理论。矩阵可看成一个“超数”,因此类比可得矩阵序列与矩阵级数,只要找到度量两个“超数”距离的适当工具。在矩阵里,这就是范数。尽管使用给定基下的分量和元素等也可以,但明显用范数记号简洁明晰,且有助于证明。
一、矩阵序列的收敛性
定义1 设有中的矩阵序列
这里。
如果,则称此矩阵序列收敛,其极限为,记为
根据矩阵序列收敛性的定义,可证明下列性质。
定理2 中的矩阵序列分别收敛于,则
定理3 中的矩阵系列分别收敛于,则
定理4 中的矩阵序列收敛于,且所有和都可逆,则
注意定理中条件“所有和都可逆”必不可少,例如下面的不可逆,虽然可逆,且
注意都是方阵
用矩阵的范数理论来研究矩阵序列的收敛性是最常用、最简洁的方法。
特别地,若,则的充要条件是
定理5 中的矩阵序列收敛于的充要条件是对任意一种矩阵范数,都有
证明:
所以
由范数的等价性,对于上任意一个范数,必存在正常数,使