文档介绍：等差数列求和
一、等差数列的前n项和公式 S=n(a1+an)
n2
=nan(n-1)
1+2d =d
2n2+? ?ad?
1-2??n(类似于Sn=An2+Bn)
二、
(1)对于项数为2k(k∈N+)的等差数列,有 S2k=k(ak+ak+1)
S奇=kak
S偶=kak+1
S偶-S奇=kd
S奇
S=ak
偶ak+1
(2)对于项数为2k-1(k∈N+)的等差数列,有 S2k-1=(2k-1)ak
S奇=kak
S偶=(k-1)ak
S奇-S偶=ak=a中
S奇k
S=
偶k-1
例:已知等差数列{an}的前n项和为377,项数n为奇数,且奇数项和与偶数项和之比为7:6,求中项。解:设n=2k-1(k∈N+),则中项为ak, Sn=S2k-1=(2k-1)ak=377S奇k7==S偶k-16 S13377==29, 1313解得k=7,a7=
即中项为29
三、等差数列的前n项和的最值公差d>0 ? {an}为递增等差数列,Sn有最小值。公差d<0 ? {an}为递减等差数列,Sn有最大值。公差d=0 ? {an}为常数列。特别地,当a1>0,d<0时,Sn有最大值(所有非负项之和) 当a1<0,d>0时, Sn有最小值(所有非正项之和)。
例:在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取最大值,并求此最大值。
解法一:根据题意可得
10?20+10?915?14d=15?20+d22 3得d=-5
565可求an=-n+ 33
所以a13=0,
即当n≤12时,an>0; 当n≥14时,an<0。所以当n=12或13时,Sn有最大值, 且最大值为S12=S13=130 解法二:根据题意,Sn=An2+Bn(A≠0),如图所示
由S10=S15,得当n=12或13时,Sn取最大值,
B25=, 2A2
5125n, 得Sn=-n2+66a1=A+B=20,-
可求得S12=130
解法三、由S10=S15知a11+a12+a13+a14+a15=0,即5a13=0,
5得a13=0,d=-,故当n=12或13时,Sn取最大值, 3
最大值为S12=S13=
13(a1+a13)=130 2
求等差数列前n项和Sn的最值常用方法:利用等差数列单调性或性质求出正负
转折项;或根据二次函数图像的性质求最值。
四、等差数列的性质
等差数列{an},公差为d,前n项和为Sn,则:
(1)等长度截取,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, 成等差数列公差为k2d
(2)算术平均值,
若{an}与{bn}为等差数列,且前n项和为Sn与Tn,则
例设Sn是等差数列{an}的前n项和,若
解:因为S4,S8-S4,S1-2S,SS41=,则8=_____。 S83S16S1S2S3d,,, 为等差数列,公差为 1232amS2m-1 =bmT2m-18S-16成S等差数列,设S4=m,S