文档介绍：等差数列知识点总结
等差数列
知识清单
1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d(n≥1)。
根据定义,当我们看到形如:an-an-1=d、an-an-1=d、
a+an-111an-an-1=d、Sn-Sn-1=d时,应能从中得到相应-=d、an=n+1
anan-12
的等差数列。
等差数列的判定方法
*1. 定义法:若an-an-1=d或an+1-an=d(常数n∈N)? {an}是等差数列. 22
:数列{an}是等差数列?2an=an-1+an+1(n≥2)?2an+1=an+an+2.
{an}是等差数列?an=kn+b(其中k,b是常数)。
{an}是等差数列?Sn=An+Bn,(其中A、B是常数)。 2
等差数列的证明方法
*定义法:若an-an-1=d或an+1-an=d(常数n∈N)? {an}是等差数列.
{an}的前n项和,且Sn=n2,则{an}是( )
,但不是等差数列 ,但不是等比数列
,而且也是等比数列
:
an=a1+(n-1)d=dn+a1-d(n∈N) , 首项:a1,公差:d,末项:an *
an-am; n-m
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d; 推广: an=am+(n-m)d. 从而d=
说明:等差数列(通常可称为AP数列)的单调性:
d>0为递增数列,d=0为常数列,d<0 为递减数列。
{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,则n为( ) 3
如(1)等差数列{an}中,a10=30,a20=50,则通项an=
(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______ ;
{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13等于( )
a例4:已知数列{an}为等差数列,若-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使Sn>0的a10
n的最大值为( )
1..已知数列{an}的前n项和Sn=n(n-40),则下列判断正确的是( )
>0,a21<0 >0,a21<0 <0,a21>0 <0,a20>0
{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则此数列的通项公式为_______________;数列{nan}中数值最小的项是第_______项.
a+b(1)如果a,A,b成等差数列,:A=或2
2A=a+b.
(2)等差中项:数列{an}是等差数列?2an=an-1+an+1(n≥2)?2an+1=an+an+2. 例5.“公差为0的等差数列是等比数列”;“公比为1的等比数列一定是递减数列”;“a,b,c2
三数成等比数列的充要条件是b2=ac”;“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”,以上四个命题中,正确的有( )
,a,b成等差数列,3,a+2,b+5成等比数列,则等差数列的公差为( )
-3 -1 D.-3
{an}中,a1+a9=10,则a5的值为( )
(A)5 (B) 6 (C)8 (D)10
3 已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=π,则cos(a2+a8)的值为________________.
4、等差数列的前n和的求和公式:
Sn=n(a1+an)n(n-1)d1=na1+d=n2+(a1-d)n=An2+Bn 2222
(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
特别地,当项数为奇数2n+1时,an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S2n+1=(2n+1)(a1+a2n+1)=2(2n+1)an+1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
前n和Sn=na1+n(n-1)