文档介绍：几何与代数
主讲: 王小六
东南大学线性代数课程
极大无关组
对向量组分类
引入秩的概念
找出可以线性表示整体向量组
的部分组
1, 2, …, s
§4. 2 向量组的线性相关性
第四章 n维向量
§ 向量组的极大线性无关组与秩
一. 定义
如果向量组1, 2, …, s的部分组
满足以下列条件:
, …,
i1
,
i2
ir
线性无关;
, …,
i1
(1)
,
i2
ir
(2) 1, 2, …, s中任一向量都可由
线性表示,
, …,
i1
,
i2
ir
极大线性无关组.
为1, 2, …, s的一个
, …,
i1
则称
,
i2
ir
等价的定义
如果向量组1, 2, …, s的部分组
满足以下列条件:
, …,
i1
,
i2
ir
线性无关;
, …,
i1
(1)
,
i2
ir
(2’) 在中添加1, 2, …, s中
任一向量所得的向量组都线性相关.
, …,
i1
,
i2
ir
极大线性无关组.
为1, 2, …, s的一个
, …,
i1
则称
,
i2
ir
§4. 2 向量组的线性相关性
第四章 n维向量
例分析下列哪些部分组是极大无关组?
1
2
1
1
0
2
-1
0
-2
2
2
3
1 = ,
2 = ,
3= ,
4= .
§4. 2 向量组的线性相关性
第四章 n维向量
定理 如果向量组1, 2, …, t 可由
1, 2, …, s 线性表示,而且 t >s, 则
1, 2, …, t 必定线性相关
推论 如果向量组1, 2, …, t 可由
1, 2, …, s 线性表示,并且1, 2, …,
t 线性无关, 则 t ≤ s .
推论 如果向量组1, 2, …, t 与
1, 2, …, s 等价,并且它们均线性
无关, 则 t = s .
§4. 2 向量组的线性相关性
第四章 n维向量
给定一个向量组,其任意两个极大无关组均含有相同个数的向量.
极大无关组中向量
的个数是一个不变量
§4. 2 向量组的线性相关性
第四章 n维向量
给定一个向量组,其任意两个极大无关组均含有相同个数的向量.
向量组1, 2, …, s中极大无关组中向量的个数称为这个向量组的秩,记为
秩{1, 2, …, s} 或r{1, 2, …, s}.
注:1. r{1, 2, …, s} ≤ s, 向量的维数;
2. 向量组1, 2, …, s线性无关
<=> r{1, 2, …, s} = s .
§4. 2 向量组的线性相关性
第四章 n维向量
定理 如果向量组1, 2, …, t 可由
1, 2, …, s 线性表示,则
r{1, 2, …, t } ≤ r{1, 2, …, s }.
推论 如果向量组1, 2, …, t 与
1, 2, …, s 等价,则
r{1, 2, …, t } = r{1, 2, …, s }
§4. 2 向量组的线性相关性
第四章 n维向量
例如果向量组1, 2, …, s 的秩为r, 证明:
1, 2, …, s中的任意r个线性无关的向量
都是其极大无关组.
如果向量组1, 2, …, s 的秩为r, 那么在
1, 2, …, s中的任意r个线性无关的向量
中添加任意一个向量都会变得线性相关.
(注:平时的证明中不要以此为结论)
§4. 2 向量组的线性相关性
第四章 n维向量