文档介绍：贝叶斯统计复****br/> 贝叶斯统计****题
1. 设?是一批产品的不合格率,从中抽取8个产品进行检验,发现3个不合格品,假如
先验分布为(1)?U(0,1)
1-?),0<?<1?2((2)? (?)=?0,其它?
求?的后验分布。
解:
m?x???p(x|?)????d???C?(1??)*2(1??)d???112?3(1??)6d??0038350111215
p(x|?)???????x???840?3(1??)6,0???1mx2. 设x1,x2,
其密度函数为
????0/??+1,?>?0 ?(?)=?0,???0? 的一个样本,又设?的先验分布为Pareto分布,,xn是来自均匀分布U(0,?)
其中参数?0>0,?>0,证明:?的后验分布仍为Pareto分布。
解:样本联合分布为:
p(x)?1
?n,0?x??
????0/???1,???0?(?)??0,???0 ?
απ(θx)∝p(xθ)π(θ)=αθ0/θα+n+1∝1/θα+n+1,θ>θ1=max{θ0,x1,,xn}
因此θ的后验分布的核为1/θα+n+1,仍表现为Pareto分布密度函数的核?(α+n)θ1α+n/θα+n+1,θ>θ1即π(θx)=? 0,θ≤θ1?
即得证。
3. 设x1,x2,指数分布的密度函数为p(x|λ)=λe-λx,x>0, ,xn是来自指数分布的一个样本,
(1) 证明:伽玛分布Ga(α,β)是参数λ的共轭先验分布。
(2) 若从先验信息得知,,,确定其超参数α,β。
解:
(1)样本的似然函数:p(xλ)=λ
βαα-1-βλπ(λ)=λeΓαn-λe∑xii=1n=λne-nx
参数λ的后验分布π(λx)∝p(xλ)π(λ)∝λn+α-1e-(β+n)λ
服从伽马分布Gaα+n,β+nx.()
?α?β=?(2)??α=4,β=20000. α2?=??β
4. 设一批产品的不合格品率为θ,检查是一个接一个的进行,直到发现第一个不合格品停止检查,若设X为发现第一个不合格品是已经检查的产品数,则X服从几何分布,其分布列为 P(X=x|θ)=θ
(1-θ)x-1,x=1,2,
假如θ只能以相同的概率取三个值1/4, 2/4, 3/4,现只获得一个观察值x=3,求θ的最大后
?。验估计θMD
解:θ的先验分布为
在θ给定的条件下,X=3的条件概率为
联合概率为
X=3的无条件概率为
θ的后验分布为
5。设x是来自如下指数分布的一个观察值,
p(x|θ)=e-(x-θ),x≥θ
取柯西分布作为θ的先验分布,即π(θ)=1,-∞<θ<∞ 2π1+θ?。求θ的最大后验估计θMD
解后验密度
6. 设x=(x1,x2,
数为又设θ服从Pareto分布,密度函,xn)是来自均匀分布U(0,θ)的一个样本,
α?αθ0/θα+1,θ>θ0 π(θ)=?0,θ≤θ0?
求θ的后验均值和后验方差。
α?αθ0/θα+1,θ>θ0解:θ的先验分布