GBT19001-2008质量管理体系要求.pdf

文档介绍：第一节二重积分的概念及性质
一、引例
二、二重积分的定义
三、二重积分的性质
一、引例
解分三步解决这个问题.
引例1 质量问题.
已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量)
随点(x,y)的变化而连续变化,求D的质量.
分割将D用两组曲线任意分割成n个小块:
其中任意两小块和除边界外无公共
,我们用符号既表
示第i个小块,也表示第i个小块的面.(i=1,2,…,n).
故所要求的质量m的近似值为
近似、求和若记为的直径(即表示中任
意两点间距离的最大值),将任意一点
处的密度近似看作为整个小块的面密

取极限记,则定义
为所求薄板D的质量m.
引例2 曲顶柱体的体积.
若有一个柱体,它的底是Oxy平面上的闭区域D,
它的侧面是以D的边界曲线为准线,且母线平行于z轴
的柱面,它的顶是曲面z=f(x,y),设f(x,y)≥0为D上的连

顶柱体的体积.
解也分三步解决这个问题.
分割区域D用两组曲线任意分割成n个小块:
其中任意两小块和除边界外无公共点.
其中既表示第i个小块,也表示第i个小块的面积.
近似、求和记为的直径(即表示中任
意两点间距离的最大值),在中任取一点,
以为高而底为的平顶柱体体积为
此为小曲顶柱体体积的近似值,故曲顶柱体的近
似值可以取为
取极限若记,则定义
为所讨论的曲顶柱体的体积.
二、二重积分的定义
定义1 设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.
分割用任意两组曲线分割D成n个小块
其中任意两小块和
除边界外无公共点, 既表示第i小块,也表示第i小块的面积.
近似、求和对任意点,作和式
取极限若为的直径,记,若极限
存在,且它不依赖于区域D的分法,也不依赖于点
的取法,称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.
记为
(2)
称f(x,y)为被积函数,D为积分区域,x,y为积分变元, 为面积微元(或面积元素).
由这个定义可知,质量非均匀分布的薄板D的质

分的物理意义可以解释为:二重积分的值
等于面密度为f(x,y)的平面薄板D的质量.
二重积分的几何意义:
(1) 若在D上f(x,y)≥0,则表示以区域D为底,以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.
(2) 若在D上f(x,y)≤0,则上述曲顶柱体在Oxy面的下
方,二重积分的值是负的,其绝对值
为该曲顶柱体的体积.
(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的,在D的另一些
子区域上为负的,则表示在这些子区域
上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).
二重积分的存在定理若f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).