文档介绍：第一章 ~~第三章
一、极限
数列极限
函数极限,,
,,
求极限(主要方法):
(1)
(2)等价无穷小替换(P76)。当时,
代换时要注意,只有乘积因子才可以代换。
(3)洛必达法则(),只有可以直接用罗比达法则。
幂指函数求极限:;
或,令,两边取对数,若,则。
结合变上限函数求极限。
二、连续
左、右连续
函数连续函数既左连续又右连续
闭区间上连续函数性质:最值,有界,零点(结合证明题),介值,推论。
三、导数
左导数
右导数
微分
可导连续可导可微可导既左可导又右可导
求导数:
(1) 复合函数链式法则
(2) 隐函数求导法则
两边对求导,注意、是的函数。
(3)参数方程求导
四、导数的应用
(1)罗尔定理和拉格朗日定理(证明题)
(2)单调性(导数符号),极值(第一充分条件和第二充分条件),最值。
(3)凹凸性(二阶导数符号),拐点(曲线上的点,二维坐标,曲线在该点两侧有不同凹凸性)。
第四章不定积分
原函数不定积分
基本性质或
或
(分项积分)
基本积分公式
(1) ; (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
(11) (12)
(13)
除了上述基本公式之外,还有几个常用积分公式
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8. 9.
求不定积分的方法
直接积分法:恒等变形,利用不定积分的性质,直接使用基本积分公式。
换元法:第一类换元法(凑微分法)
第二类换元法(变量代换法)
(注意回代)
换元的思想:
主要有幂代换、三角代换、倒代换
分部积分法
的优先选取顺序为:指数函数;三角函数;幂函数
第五章定积分
一、概念
定义
性质: 设、在区间上可积,则定积分有以下的性质.
(1). ;
(2). ;
(3). ;
(4). 若在上,,则;
推论1. 若在上,,则
推论2. ()
(5). 若函数在区间上可积,且,则
(6).(定积分中值定理) 设在区间上连续,则存在,使
.
积分上限函数及其性质
(1).,或;
(2).如果,则.
(3). 如果,
则.
广义积分
(1). 无穷限积分
.
.
收敛的充分必要条件是反常积分、同时收敛,并且在收敛时,有
.
(2). 瑕积分
为瑕点
为瑕点
为瑕点则收敛与均收敛,并且在收敛时,有
二、计算
定积分的计算
1、微积分基本公式:设函数在区间上连续,且,则
, 牛顿-莱布尼兹(N-L)公式
2、换元法:设函数在区间上连续,函数满足:
①在区间上可导,且连续;
②,,当时,,则
3、分部积分法:, 或.
4、偶倍奇零: 设函数在区间上连续,则
5、.
6、分段函数的定积分。
与积分上限函数相关的计算
广义积分的计算(依据定义先求原函数,再求极限)
三、定积分的应用
(一)几何应用
平面图形的面积
(1)直角坐标,
或
(2)参数方程若与及x轴所围成的面积, 分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值。
(3)极坐标由曲线所围的曲边扇形
的面积
旋转体的体积
(1)直角坐标:由曲线与轴所围