文档介绍：《计数原理》(理)知识点串讲
一、基本计数原理
做一件事,完成它有类办法,在第一类办法中有种不同的办法,在第二类办法中有种不同的办法,….
做一件事,完成它需要分成个步骤,做第一个步骤有种不同的方法,做第二个步骤有种不同的方法,…,做第个步骤有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
说明:①分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成.
②两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关,如果完成一件事情有类办法,这类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事情,可类比物理中的“并联”电路来理解;如果完成一件事情需要分成个步骤,各个步骤都是相依的、不可缺少的,一个步骤只能完成事情的一部分,必须依次完成所有的步骤,才能完成这件事情,可类比物理中的“串联”电路来理解.
③运用两个基本原理解题时,应善于从语言的差异与变化中弄清面临怎样的“一件事”,弄清事件之间的关系是相依还是相斥,然后按照恰当的“对象”进行分类或分步,“不重不漏”,分步要做到“步骤完整”.这两个原理是解决排列组合问题的理论基础.
二、排列与组合
一般地,从个不同元素中取出个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
说明:①排列的定义中包括两个基本内容:一是“取出元素”;二是“按照一定的顺序排列”.
②只有取出的元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同时,才是同一个排列,元素不完全相同,,2,3与2,3,4是不同排列;1,2,3与1,3,2也是不同排列.
③排列中元素的有序性是判断一个具体问题是不是排列问题的标准,:从1,2,3,5这四个数中每次任取两个数相加(或相乘),可得到多少个不同的和(积)?因为加法(乘法)满足交换律,它们的和(积)与顺序无关,如3+5=5+3,(相除),一共有多少个不同的差(商)?因为减法(除法)不满足交换律,,取出的两个数就与顺序有关了,属于排列问题
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(1)定义:从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.
说明:排列和排列数是两个不同的概念fL:一个排列是取出的个元素按照一定顺序排成的一个具体的排列,是具体的“一件事”;排列数是一个数,是所有的具体排列的数目.
如:从1、2、3中每次任取出两个元素,,13,23,21,31,,而排列数是,.
(2)排列数公式:.
说明:规定;乘积形式多用于数字计算,阶乘形式多用于证明恒等式;排列数性质:;.
一般地,从个不同元素中,任意取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的组合.
说明:如果两个组合中的元素完全相同,:一是取出元素;二是并成一组,并成一组表示