文档介绍：第六章代数结构
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系统,即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就是具有一个二元运算的代数系统.
本章以群为例讨论代数结构,它的思想和方法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结果已应用到计算机的不少方面,因此计算机科学工作者应初步掌握其基本的理论和方法.
读者通过对群的学****应初步掌握对代数系统研究的一般方法,从简单到复杂、从具体到一般,、.
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10/20/2017
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第一节代数结构概述
我们在前面已经研究过集合,,并研究其运算规律,主要内容为:
,然后用例子说明代数系统的丰富性;
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第二节置换(1)
,,运算方便.
本节的概念有:置换、循环置换、不相交置换、对换、奇置换、偶置换等;
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第二节置换(2)
本节的结论有:
(即合成)满足结合律;
;
(不考虑因子的次序) ;
,且偶置换只能分解成偶数个对换的乘积,奇置换只能分解成奇数个对换的乘积;
,奇偶置换各半.
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第三节群
本节给出了群的定义及群的简单性质.
主要概念有:左(右)单位元、单位元、左(右)逆元、逆元、可除条件、消去律、有限群、无限群、交换群;
主要结论有:
(2) 、(3)可分别用左单位元、左逆元替代,也可分别用右单位元、右逆元替代,还可以用可除条件替代;
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第四节子群
与集合的子集、.
主要概念有:平凡子群、非平凡子群、由某个元素生成的子群、循环群、生成元、元素的周期.
讨论了一个群的非空子集构成子群的条件;在某个元素生成的子群的基础上定义循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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第五节陪集与正规子群
本节利用群G的一个子群H来作G的一个分类,并由这样的分类来引入正规子群的概念.
,定义了G的一个等价关系,这个等价关系决定了G的一个分类,每个类Ha称为右陪集,类似地也定义了左陪集;
、右陪集的基础上定义了群的正规子群,并讨论了子群为正规子群的条件,正规子群是群的一类重要子群,有很好的代数性质,应很好掌握它.
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第六节拉格朗日定理
.
拉格朗日定理是:设G是有限群,H是G的子群,则有公式|G|=|H|(G:H).
本节给出了拉格朗日定理的两个推论及几个应用拉格朗日定理的例子.
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第七节群的同态(1)
同态是两个代数系统间的一种联系,通过这种联系,,我们常用的对数,实际上,,我们实现了把较难的乘法运算转化成较易的加法运算,因此,同态是代数系统间十分重要的关系
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第七节群的同态(2)
主要概念有:同态、单同态、满同态、同构、零同态、同态象、同态核.
主要结论有:
’的同态映射,则G的单位元的象是G’的单位元;且G的子群H在f下的象f(H)是G’的子群;
’的同态映射,则同态核是G的正规子群;
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