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东南大学机械学院**
一黄金分割法基本思路
黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单谷函数求极小值问题,
对函数除要求“单谷”外不做其他要求,甚至可以不连续。因此,这
种方法的适应面非常广。
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法,即在搜
索区间[a,b]内适当插入两点a1,a2,并计算其函数值。a1,a2将
区间分成三段,应用函数的单谷性质,通过函数值大小的比较,删去其
中一段,是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处
理,如此迭代下去,是搜索区间无限缩小,从而得到极小点的数值近似
解。
二黄金分割法的基本原理
一维搜索是解函数极小值的方法之一,其解法思想为沿某一已知方
向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多,这里主要采用黄金
分割法()。
法每次不同的缩短率,从而可以看成是斐波那契法的近似,实现起来
比较容易,也易于人们所接受。
黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小
点xmin的一种方法。它是优化计算中的经典算法,以算法简单、收敛速
度均匀、效果较好而著称,是许多优化算法的基础,但它只适用于一维区
间上的凸函数,即只在单峰区间内才能进行一维寻优,其收敛效率较低。
其基本原理是:依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则
来逐步缩小搜索区间。具体步骤是:在区间[a,b]内取点:
a1,a2把[a,b]分为三段。
①如果f(a1)>f(a2),令a=a1,a1=a2,a2=a+*(b-a);
②如果f(a1)<f(a2),令b=a2,a2=a1,a1=b-*(b-a);
如果|(b-a)/b|和|(y1-y2)/y2|都大于收敛精度ε重新开始循
环。
因为[a,b]为单峰区间,,处
理后的区间都将包含极小点的区间缩小,然后在保留下来的区间上作
同样的处理,如此迭代下去,将使搜索区[a,b]逐步缩小,直到满足预
先给定的精度时,即获得一维优化问题的近似最优解。
插入点原理图如下:
三实验程序框图
四程序运行结果
例如:f=x^2+2*x,给定搜索区间[-3,5],求此函数的极小点。
:
:
,以及所求函数后,再运行:
xmin=golden(f,a,b,e)
系统调用m文件的内容,这时候matlab就会输出函数的最优值。
即该函数的最小值点在x=-1,最小点的函数值fmin=-1,一共经过了
29次迭代。
五实验心得
通过此次实验,加深了对黄金分割法的基本理论和算法框图及步
骤的全面理解,掌握了matlab的使用方法。此方法适用于一维函数
求最小值的问题。原理比较简单,稍微复杂一点的就是缩小区间的时
候怎么进行换名,另外一个难点就是如何用matlab来实现,此次实
验通过自学matlab的基本操作以及matlab编程语言,最后完成了此
次实验。
附录
matlab程序代码
主程序:
symsxabe;%定义变量
a=input('搜索区间的第一点\a=');%确定搜索区间
b=input('搜索区间的第二点\b=');
e=input('搜索精度\ne=');%收敛精度
disp('需求的优化函数f=f(x),调用xmin=golden(f,a,b,e)');
m文件:
functionxmin=golden(f,a,b,e)
k=0;
a1=b-*(b-a);%插入点的值
a2=a+*(b-a);
whileb-a>e%循环条件
y1=subs(f,a1);
y2=subs(f,a2);
ify1>y2%比较插入点的函数值的大小
a=a1;%进行换名
a1=a2;
y1=y2;
a2=a+*(b-a);
else
b=a2;
a2=a1;
y2=y1;
a1=b-*(b-a);
end
k=k+1;
end%迭代到满足条件为止就停止迭代
xmin=(a+b)/2;
fmin=subs(f,xmin)%输出函数的最优值
fprintf('k=\n');%输出迭代次数
disp(k);