文档介绍：第一章多项式
一****题及参考解答
用除,求商与余式:
1);
2)。
解 1)由带余除法,可得;
2)同理可得。
,有
1),
2)。
解 1)由假设,所得余式为0,即,
所以当时有。
2)类似可得,于是当时,代入(2)可得;而当时,代入(2)可得。
综上所诉,当或时,皆有。
:
1);
2)。
解 1);
2)。
,即表成
的形式:
1);
2);
3)。
解 1)由综合除法,可得;
2)由综合除法,可得;
由综合除法,可得
。
:
1);
2);
3)。
解 1);
2);
3)。
。
1);
2);
3)。
解 1)因为
再由,
解得,
于是。
2)仿上面方法,可得,且。
3)由可得。
,求的值。
解因为,
,
且由题设知最大公因式是二次多项式,所以余式为0,即
,
从而可解得或。
:如果,且为与的组合,那么是与的一个最大公因式。
证易见是与的公因式。另设是与的任一公因式,下证。
由于是与的一个组合,这就是说存在多项式与,使
,
从而由可得,得证。
:,的首系数为1)。
证因为存在多项式使,
所以,
上式说明是与的一个组合。
另一方面,由知,
同理可得,
从而是与的一个最大公因式,又因为的首项系数为1,所以。
,证明:
。
证存在使,
又因为不全为0,所以,
由消去律可得,
所以。
:如果不全为零,且,那么。
证由上题证明类似可得结论。
:如果,那么。
证由假设,存在及使
(1)
(2)
将(1)(2)两式相乘,得
,
所以。
,而且
。
求证:。
证由于
,
反复应用第12题结论,可得
,
同理可证
,
从而可得
。
:如果,那么。
证由题设知,所以存在使,
从而,
即,
所以。
同理。
再由12题结论,即证。
解由辗转相除法,可求得,所以它们的公共根为。
:
1) ;
2) ;
解 1),
所以有的三重因式。
2),,所以无重因式。
,使有重根。
解易知有三重根时,。若令
,比较两端系数,得
由(1),(3)得,解得的三个根为,将的三个根分别代入(1),得。再将它们代入(2),得的三个根。
当时有3重根;当时,有2重根。
。
解令,则,显然当时,只有当才有三重根。
下设,且为的重根,那么也为与的根,即
由(1)可得,再由(2)有。所以
,
两边平方得,所以。
综上所叙即知,当时,多项式有重根。
,求。
解令,。由题设知,1是的根,也是的根,此即
,
解得。
:不能有重根。
证因为的导函数,所以,于是,从而无重根。
,证明是
的一个k+3重根。
证因为
,
由于是的重根,故是的重根。代入验算知是的根。
现在设是的重根,则是的重根,也是的s-2重根。
所以。得证。
:是的重根的充分必要条件是,而
证必要性:设是的重根,从而是的重根,是的重根,,是的一重根,并且不是的根。于是
而。
充分性:由,而,知是的一重根。又由于,知是的二重根,依此类推,可知是的重根。
“是的重根,那么是的重根”是不对的。
解例如,设,那么以0为重根,但0不是的根。
:如果,那么。
证要证明,就是要证明(这是因为我们可以把看作为一个变量)。由题设由,所以,也就是,得证。
:如果,那么。
证因为的两个根为和,其中,所以和也是的根,且,于是
,
解之得。得证。
。
解在复数范围内,其中,
在实数域内,所以,当为奇数时,有
其中,皆为实数。
当是偶数时,有
:
1) ;
2) ;
3) 。
解利用剩余除法试根,可得
有一个有理根2。
有两个有理根(即有2重有理根)。
有五个有理根(即一个单有理根3和一个4重有理根)。
?
1);
2) ;
3);
4) 为奇素数;
5)为整数。
解 1)因为都不是它的根,所以在有理数域里不可约。
2)利用艾森斯坦判别法,取,则此多项式在有理数域上不可约。
3)首先证明:
命题设有多项式,令或,得
或