文档介绍：§5 量纲分析法建模
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法,它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,,然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法,——无量纲化.
一、量纲齐次原则
许多物理量是有量纲的,有些物理量的量纲是基本的,、质量m和时间t的量纲作为基本量纲,记以相应的大写字母,、加速度a的量纲可以按照其定义分别用和表示,,如万有引力定律中的引力常数,由可知其量纲应从力f、距离r和质量m的量纲求出,为··=.通常,一个物理量q的量纲记作[q],于是上述各物理量的量纲为[l]=L,[m]=M,[t]=T,[v]=LT-1,[]=LT-2,[f] =LMT-2,[k]= .
对于无量纲量,我们记[]=1(因为可视为[]=).
用数学公式表示一个物理定律时,等号两端必须保持量纲的一致,或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity).量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求理量之间的关系[6,20].在叙述主要定理之前先看一个例子.
单摆运动这是一个熟知的物理现象,质量为m的小球系在长度为的线的一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg作用下(g为重力加速度)做往复摆动,
周期t的表达式.
在这个问题中出现的物理量有t,m,l,g,设它们之间有关系式
其中,,是待定常数,(1)式的量纲表达式即
将[t]=T,[m]=M,[l]=L,[g]=LT-2代入得
按照量纲齐次原则应有
(3)的解为=0,=1/2,=-1/2,代人(1)式得(4)
(4)式与用力学规律得到的结果是一致的.
为了导出量纲分析建模的一般方法,将这个例子中各个变量之间的关系写作
进而假设(5)式形如(6)
其中~是待定常数,,m,l,g的量纲用基本量纲L,M,T表示为,,,,则(6)的量纲表达式可写作(注意到)
即(7)
(8)
量纲齐次原则给出
此方程组有一个基本解(9)
代回(6)式得(10)
而(5)式等价于(11)
(10),(11)两式就是用量纲齐次原则从(5)(4)式只是它的特殊表达形式.
把从(5)式到(11)式的推导过程一般化,就是著名的Pi定理.
定理设有m个物理量,
是与量纲单位的选取无关的物理定律*,是基本量纲,n≤m.
的量纲可表为(13)
(14)
设线性齐次方程组(y是m维向量) (15)
的m-r个基本解为(16)
则
为m-
与(12).
[航船的阻力]
长、吃水深度h的船以速度v航行,若不考虑风的影响,那么航船受的阻力f除依赖于船的诸变量
,h,v以外,还与水的参数——密度、粘性系数,.
我们按照Pi定理中(12)~(18)式的步骤进行.
:阻力f,船长l,吃水深度h,速度v,水的密度,水的粘性系数,重力加速度g,要寻求的关系式记作
(19)
,基本量纲选为L,M,
(单位面积受的力),所以;v是流速,x是尺度,所以.
并且有n=3<m=7.
(20)立即可写出量纲矩阵
并且计算(22)
(23)
方程(23)有m-r=7—3=4个基本解,可取为
5.(24)式给出4个相互独立的无量纲量
而(19)式与
等价,是未定的函数,(25)、(26)两式表达了航船问题中各物理量间的全部关系.
6,为得到阻力f的显示表达式,由(25)及(26)中的式子可写出
,称Reynold数(雷诺数),分别记作(28)
则(27)式又表示为(29)
这就是用量纲分析方法确定的航船阻力与各物理量之间的关系,,但是在下面将会看到这个表达式在物理模拟中的用途.
评注从上面的例子可以看出,量