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知识构造
轴对称图形
图形的轴对称轴对称
轴对称和轴对称图形的性质
轴对称性
等腰三角形性质定理
判断定理
互抗命题
特别三角形
抗命题和逆定理
互逆定理
线段垂直均分线定理的逆定理
性质定理
判断定理
直角三角形
勾股定理
勾股定理的逆定理
全等的判断
角均分线的性质定理
重难点打破
重难点1等腰三角形的性质及判断
【例1】(萧山区期中)如图,在△ABC中,AD均分∠BAC.
(1)若AC=BC,∠B∶∠C=2∶1,试写出图中的全部等腰三角形,并赐予证明;
(2)若AB+BD=AC,求∠B∶∠C的比值.
【思路点拨】(1)依据等腰三角形的定义及“等角平等边”判断等腰三角形;(2)利用“截
长法”或“补短法”增添协助线,将AC-AB或AB+BD转变成一条线段,经过全等获得
线段相等,进而获得角相等.
解:(1)等腰三角形有3个:△ABC,△ABD,△ADC,
证明:∵AC=BC,
∴△ABC是等腰三角形.
∴∠B=∠BAC.
∵∠B∶∠C=2∶1,∠B+∠BAC+∠C=180°,
∴∠B=∠BAC=72°,∠C=36°.
∵∠BAD=∠DAC=12∠BAC=36°,
∴∠B=∠ADB=72°,∠DAC=∠C=36°.
AB=AD,DA=DC.
∴△ABD和△ADC是等腰三角形.
(2)在AC上截取AE=AB,连接DE,
又∵∠BAD=∠DAE,AD=AD,
∴△ABD≌△AED.
∴∠AED=∠B,BD=DE.
AB+BD=AC,AC=AE+EC,∴BD=EC.
DE=EC.
∴∠EDC=∠C.
∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C.
∴∠B∶∠C=2∶1.
1.(上城区期中)如图,△ABC.△ADE中,,BC与DE订交于点F.
若BD=CD=CE,∠ADC+∠ACD=104°,则∠DFC的度数为(C)
°
°
°
°
,在△ABC中,AB=AC,点分别在边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数.
解:(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
在△BDE和△CEF中,
BE=CF,
∠B=∠C,
BD=CE,
∴△BDE≌△CEF(SAS).
∴DE=EF,即△DEF是等腰三角形.
(2)∵∠A=40°,AB=AC,
∴∠B=∠C=70°.
由(1)知,△BDE≌△CEF,
∴∠BDE=∠CEF.
∴∠DEF=180°-∠BED-∠CEF
180°-∠BED-∠BDE
=∠B=70°.
重难点2直角三角形的性质及判断
【例2】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BF
均分∠ABC,∠AEF=∠
AFE.
(1)求证:
AD⊥BC(请用一对互抗命题进行证明
);
(2)写出你所用到的这对互抗命题.
【思路点拨】由“直角三角形的两个锐角互余”获得∠ABF+∠AFB=90°,又由于
ABF=∠CBF,∠AEF=∠BED,进而转变为∠CBF+∠BED=90°,进而AD⊥BC得证.
解:(1)证明:在Rt△ABC中,
∵∠BAC=90°,
∴∠ABF+∠AFB=90°.
BF均分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF.
∵∠AEF=∠AFE,
BED=∠AEF,∴∠BED=∠AFE.
∴∠CBF+∠BED=90°.
∴∠BDE=90°.
AD⊥BC.
(2)互抗命题:直角三角形的两个锐角互余;有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.(庆元县岭头中学月考)已知,如图,三点共线,AB⊥BD,ED⊥CD,C是BD上的一点,且AB=CD,∠1=∠2,请判断△ACE的形状并说明原因.
解:△ACE是等腰直角三角形,原因:∵∠1=∠2,
AC=CE.
AB⊥BD,ED⊥CD,
∴∠B=∠D=90°.
在Rt△ABC和Rt△CDE中,
AC=CE,
AB=CD,
Rt△ABC≌Rt△CDE.
∴∠ACB=∠CED.
∵∠CED+∠ECD=90°,
∴∠ACB+∠ECD=90°.
∴∠ACE=90°.
∴△ACE是等腰直角三角形.
重难点3勾股定理及其逆定理
【例3】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,作∠ADB的均分线DE交AB于点E.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若AE=3,AD=5,点P为线段BC上的一动点,当BP为什么值时,△DEP为等腰三角形?恳求出全部BP的值.
【思路点拨】(1)要证DE∥BC,可转变为证∠AED=∠ABC=90°,即证DE⊥AB,
由等腰三角形“三线合一”的性质可推导得出;(2)△DEP为等腰三角形,存在三种状况:
DE=EP,DP=EP,DE=DP,联合勾股定理可求得BP的值.
解:(1)证明:∵∠ABC=90°,点D是AC的中点,
1
∴BD=AD=2AC.
∵DE是∠ADB的均分线,
DE⊥AB.
又∵∠ABC=90°,∴DE∥BC.
(2)∵AE=3,AD=5,DE⊥AB,
DE=AD2-AE2=4.
DE⊥AB,AD=BD,∴BE=AE=3.
DE=EP时,BP=42-32=7;
DP=EP时,BP=1DE=1×4=2;
22
DE=DP时,过点D作DF⊥BC于点F,则DF=BE=3,
由勾股定理,得FP=42-32=7,
点P在F下面时,BP=4-7,点P在F上面时,BP=4+7,
综上所述,BP的值为7,2,4-7或4+7.
,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
解:(1)∵∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,
BC=4cm.
①当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4cm,
t=4.
②当∠BAP为直角时,BP=tcm,CP=(t-4)cm,AC=3cm,
在Rt△ACP中,AP2=32+(t-4)2,在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,∴52+[32+(t-4)2]=t2,
25
解得t=4.
综上,当△ABP为直角三角形时,t=4或25.
4
(2)①当BP=BA=5cm时,t=5.
②当AB=AP时,BP=2BC=8cm,∴t=8.
③当PB=PA时,PB=PA=tcm,CP=(4-t)cm,AC=3cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,∴t2=32+(4-t)2,解得t=258.
综上,当△ABP为等腰三角形时,t=5或8或258.
备考集训
(每题3分,共30分)
1.(上城区期中)以下四个图形中,是轴对称图形的是(C)
(C)
全等三角形的对应角相等
假如两个数相等,那么它们的绝对值相等
,同位角相等
°,那么这两个角相等
,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,假如∠A=50°,那么∠DCB=(A)
°
°
°
°
(B)
两条直角边对应相等
两个锐角对应相等
一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
5.(永嘉县校级期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
30°,则顶角的度数为
(D)
°°
°或
150°
°或
120°
,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=5,假如△DAB的面积为10,那么DC的长是(B)
第6题图第7题图
,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直均分线OD交AB于点O,交AC于
点D,连接BD,以下结论错误的选项是(D)
∠C=2∠A
BD均分∠ABC
S△BCD=S△BOD
8.(萧山区期中)△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是(A)
或
9.(庆元县岭头中学月考)如图,三角形纸片ABC中,∠B=2∠C,把三角形纸片沿直线
折叠,点B落在AC边上的E处,那么以下等式建立的是(B)
AD
=AD+BD
=AD+CD
=AB+BD
=AB+CD
第9题图
第
10题图
10.(河北中考)如图,∠AOB=120°,OP均分∠AOB,且
上,且△PMN为等边三角形,则知足上述条件的△PMN
OP=(D)
M,N分别在
OA,OB
(每题
4分,共
24分)
°,则它的底角是35°.
12.(永嘉县校级期中)如图是一个外轮廓为长方形的机器部件的平面表示图
(单位:cm),计算两个圆孔中的A和B的距离为10cm.
,依据图中的尺寸
第12题图第13题图
,在△ABC中,AB=AC=7,BC=6,AF⊥BC于F,BE⊥AC于E,D是AB的中点,则△DEF的周长是10.
14.(萧山区期中)如图,已知∠MON=30°,,,△A1B1A2.△A2B2A3.△A3B3A4均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为32.
第14题图
15.(江山期末)如图,在边长为2的等边△ABC中,AD
点P是AD上一动点,则PC+PE的最小值是3.
是
第BC
15题图
边上的高,点
E是
AC
中点,
16.(杭州期中)已知:如图,BD为△ABC的角均分线,且BD=BC,E为BD延伸线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足,以下结论:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=EF=EC;④BA+BC=①②④(填序号).
.解答题(共46分)
17.(10分)如图,请将下面两个三角形分红两个等腰三角形.(要求从头绘图,且标出每个等腰
三角形的内角的度数)
解:如图:
18.(10分)(杭州中考)如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD均分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=:DM=DN.
证明:∵AM=2MB,AN=2NC,AB=AC,
AM=AN.
AD均分∠BAC,∴∠MAD=∠NAD.
在△AMD和△AND中,
AM=AN,
∠MAD
=∠
NAD
,
AD=AD,
∴△AMD≌△
AND(SAS).
∴DM=
DN.
19.(12分)(萧山区期中)(1)用直尺和圆规作一个等腰三角形
,使得底边长为线段
a,底边上的
高的长为线段b,要求保存作图印迹;(不要求写出作法
)
(2)在(1)中,若a=6,b=4,求等腰三角形的腰长.
解:(1)如图,等腰三角形ABC即为所求作三角形,此中AB=a,OC=b.
(2)由题意知AC=BC,AO=BO,CO⊥AB,且CO=4,AB=6,
AO=3.
AC=OA2+OC2=5,
即等腰三角形的腰长为5.
20.(14分)如图1,OA=2,OB=4,
(1)求C点的坐标;
(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点,当P点沿y轴负半轴向下运动时
PA为腰作等腰Rt△APD,过D作DE⊥x轴于E点,求OP-DE的值.
Rt△ABC.
,以P为极点,
解:(1)过C作CM⊥x轴于M点,
∵∠MAC+∠OAB=90°,∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠MAC=∠OBA.
在△MAC和△OBA中,
CMA=∠AOB=90°,
MAC=∠OBA,
AC=BA,
∴△MAC≌△OBA(AAS).
CM=OA=2,MA=OB=4.
OM=OA+AM=2+4=6.
∴点C的坐标为(-6,-2).
(2)过D作DQ⊥OP于Q点,则DE=OQ.
OP-DE=OP-OQ=PQ.
∵∠APO+∠QPD=90°,∠APO+∠OAP=90°,
∴∠QPD=∠OAP.
在△AOP和△PQD中,
AOP=∠PQD=90°,
OAP=∠QPD,
AP=PD,
∴△AOP≌△PQD(AAS).
PQ=OA=2,即OP-DE=2.