文档介绍：该【人教版高中数学选修4-4知识点知识讲解 】是由【东写西读】上传分享，文档一共【7】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【人教版高中数学选修4-4知识点知识讲解 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。高中数学选修4-4知识点
第一章坐标系
—〔坐标旌〕顷而角坐依)L」坐标仲蜩变换〕
_〔极坐嫁系的概建)
{极坐募系}—
—极坐标与立角坐标Tf化〕
f借I第的瓣的、[极矩标方程
T两而掀坐指:方程〕
3线的根坐编方程)
柱坐标莘与以业标系尚介
〔柱坐椰—〕
〔球坐标系〕
平面直角坐标系
一、平面直角坐标系
(1)数轴:规定了原点,.
(2)平面直角坐标系:
定义:在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系;
数轴的正方向:两条数轴分别置于水平位置与竖直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向;
坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴,竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴,x轴或y轴统称为坐标轴;
坐标原点:它们的公共原点称为直角坐标系的原点;
对应关系:平面直角坐标系上的点与有序实数对(x,y)之间可以建立对应关系.
(3)距离公式与中点坐标公式:设平面直角坐标系中,点P1(xi,yi),P2(x2,y2),线段P『2的中
点为P,填表:—122212
两点间的距离公式
中点P的坐标公式
|PP|=J(xx)2(yy)2
12*2121
xx
x-42
2
yyy-42
2
、.平面直角坐标系中的伸缩变换
x'=入x(入>0)
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换巾:,/n、的作用下,点P(x,
y'=py(V>0)
y)对应到点P,(x,,yz),称巾为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
极坐标系
一、极坐标系
(1)定义:在平面内取一个定点0,叫做极点;自极点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
二、极坐标
(1) 极坐标的定义:设M是平面内一点,极点。与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为p;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为。.有序数对(p,。)叫做点M的极坐标,记作M(p,9).
(2) 极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系:在极坐标系中,极点O的极坐标是(0,9),(9(R),若点M的极坐标是M(p,9),则点M的极坐标也可写成M(p,9+2kn),(kCZ).
若规定p>0,0<9<2n,则除极点外极坐标系内的点与有序数对(p,9)之间才是一一对应
关系.
三、极坐标与直角坐标的互化公式
如图所示,把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y),(p,9).
(1)极坐标化直角坐标
x=pcos9
y=psin9
⑵直角坐标化极坐标
p2=x2+y2,
cy
tan9=x(x尹0).
简单曲线的极坐标方程
、曲线的极坐标方程
一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(p,9)=0,并且坐标适合方程f(p,9)=0的点都在曲线C上,那么方程f(p,9)=0叫做曲线C的极坐标方程.
二、圆的极坐标方程
(1)特殊情形如下表:
圆心位置
极坐标方程
p=2rcos9(-?<9
圆心在点(r
0)
兀、
<F
圆心在点(r
圆心在点(r
n)
p=2rsin9(0<9<n)
p=-2rcos9H~<9
⑵极坐标系的四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.
⑶图示
⑴特殊情形如下表:
击线位置
极坐标方程
图形
直线置1一
极^方
过极点,倾斜角为a
(per)
(2)9=a(p>0)和9=n+a(p>0)
//
/O{^\
pcos9=a-号<9<号
I材
过点(a,0),且与极轴垂直
0
M;
过点a,号,且与极轴平
psin9=a(0<9<n)
1qr
a:/捆3槌)
凶.
行
o:
/
过点(a,0)倾斜角为a
psin(a-9)=asina(0<9<n)
Btt
圆心在点(r,号)
p=-2rsin9(-n<9<0)
(2)一般情形:设圆心C(p0,。°),半径为r,M(p,。)为圆上任意一点,则|CM|=r,ZCOM=|9-O0|,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p2-2p°pcos(9-气)+p2-r2=
一般情形,设直线l过点P(p0,90),倾斜角为a,M(p,9)为直线l上的动点,则在△OPM中利用正弦定理可得直线l的极坐标方程为psin(a-9)=p0sin(a-90).
柱坐标系与球坐标系简介
一、柱坐标系
定义:一般地,,它在Oxy平面上的射影为Q,用(p,9)(p>0,0<9<2n)表示点Q在平面Oxy上的极坐标,这时点P的位置可用有序数组(p,9,z)(zCR),我们建立了空间的点与有序数蛆(p,9,z),有序数组(p,9,z)叫做点P的柱坐标,记作P(p,9,个,其中?>0,0<9<2兀,zER.
x=pcos9
⑵空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(p,9,z)之间的变换公式为y=psin9.
二、球坐标系可
⑴定义:一般地,,*
连接0P,记|0P|=r,OP与。z轴正向所夹的角为设P在Oxy平面上的射影\-
为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到0Q时所转过的最小正角为9,这样点P的位,
屑就可以用有序数组(r,4,。)表示,这样,空间的点与有序数组(r,巾,9),""
(或空间
极坐标系),有序数组(r,巾,9),叫做点P的球坐标,记作P(r,如9),其中r》0,0<正<n,0<9<2n.
x=rsin巾cos9
⑵空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,巾,9)之间的变换公式为y=rsin[=rcos巾
第二章参数方程
曲线的参数方程
一、参数方程的概念
参数方程的概念
(1)定义:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的
x=f(t)
函数:,、①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,y=g(t)
那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
(2)参数的意义:参数是联系变数x,y的桥梁,可以是有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.
参数方程与普通方程的区别与联系
(1)区别:普通方程F(x,y)=0,直接给出了曲线上点的坐标x,y之间的关系,它含有x,y
x=f(t)
两个变量;参数方程(t为参数)间接给出了曲线上点的坐标x,y之间的关系,它含有三
y=g(t)
个变量t,x,y,其中x和y都是参数t的函数.
(2)联系:普通方程中自变量有一个,而且给定其中任意一个变量的值,可以确定另一个变量的值;参数方程中自变量也只有一个,而且给定参数t的一个值,就可以求出雎一对应的x,y的值.
这两种方程之间可以进行互化,通过逍去参数可以把参数方程化为普通方程,而通过引入参数,也可把普通方程化为参数方程.
二、圆的参数方程
圆心在坐标原点,半径为r的圆的参数方程
如图圆。与x轴正半轴交点M0(r,0).
(1)设M(x,y)为圆。上任一点,以OM为终边的角设为。,则以。为参数的圆O的参数方程是
x=rcos
y=rsin
其中参数e的几何意义是OM0绕。点逆时针旋转到OM的位置时转过的知度.
(2)设动点M在圆上从M0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动,角速度为3,则OM0经过时间t转
x=rcoswt过的角e=3t,则以t为参数的圆。的参数方程为(t为参数).
y=rsincot
其中参数t的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间.
圆心、为C(a,b),半径为r的圆的参数方程
圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程可以看成将圆心在原点,半径为r的圆通过坐标平移
x=a+rcos9,得到,所以其参数方程为y=b+rme号"
三、参数方程和普通方程的互化
曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种丕回形式,两种方程是等价的可以互相转化.
将曲线的参数方程化为普通方程,.
普通方程化参数方程,首先确定变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),其次将
x=f(t)
x=f(t)代入普通方程解出y=g(t),则一、(t为参数)=g(t)
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.
圆锥曲线的参数方程
一、椭圆的参数方程
x2y2
中心在原点,焦点在x轴上的椭圆丁+y=1(a>b>0)的参数方程是—(巾是参数),
a2b2y=bsin-
规定参数巾的取值范围是[0,2兀).
中心在原点,焦点在y轴上的椭圆y^+?'=1(a>b>0)的参数方程是:―(巾是参数),
a2b2y=asin-
规定参数巾的取值范围是[0,2兀).
22x=h+acos巾
中心在(h,k)的椭圆普通方程为土呸义_蔓1,则其参数方程为—(-是
a2b2y=k+bsin—
参数).
二、双曲线的参数方程
X2V2x=asec巾
⑴中心、在原点,焦点在x轴上的双曲线云-卜1的参数方程是顷而4^,规定参数巾的取值范围为弓』[0,2
兀)且4)尹:,小尹号.
(2)中心在原点,焦点在y轴上的双曲线寻-,1的参数方程是-一瓦侦?(小为参数).a2b2y=asec-
三、抛物线的参数方程
x=2pt2
(1)抛物线V=2px的参数方程为(t为参数).
y=2pt
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
直线的参数方程
一、直线的参数方程
经过点M(x,y),倾斜角为a的直线l的参数方程为(t为参数).
0y=y,+tsina
二、直线的参数方程中参数t的几何意义
(1)参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M。的距离.
(2)当MM与e(直线的单位方向向量)同向时,,t取负数,当M与M。
重合时,t=g.
三、直线参数方程的其他形式
对于同一条直线的普通方程,选取的参数不同,(x。,y。),
倾斜角为a的直线,选取参数t=MM得到的参数方程、=%+坨庭a(t为参数)称为直线参数方程0y=y0+tsina
的标准形式,此时的参数t有明确的几何意义.
一般地,过点M(x,y),斜率k=?(a,b为常数)的直线,参数方程为0(t为参数),
000ay=y0+bt
称为直线参数方程的一般形式,此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义.
渐开线与摆线(了解)
一、渐开线的概念及参数方程
(1)渐开线的产生过程及定义
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与
圆相切,逐渐展开,铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆.
(2)圆的渐开线的参数方程
以基圆圆心O为原点,直线OA为x轴,,
xr(cossin)
绳子外端M的坐标为(x,y),则有(.、(巾为参数).这就是圆的渐开线的参数
yr(sincos)
方程.
二、摆线的概念及参数方程
摆线的产生过程及定义
平面内,一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹,叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线.
xr(sin),
yr(1cos
半径为r的圆所产生摆线的参数方程为*、(为参数).