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八年级上数学专题训练一 《勾股定理》典型题练习 答案解析
一、知识要点：
1、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的
两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a2 + b 2= c 2。公式的变形： a2 = c 2- b 2， b2= c 2-a2 。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形 ABC 的三边长分别是 a， b， c，且满足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三
角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理 .
该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：
① 已知的条件：某三角形的三条边的长度 .
②满足的条件：最大边的平方 =最小边的平方 +中间边的平方 .
③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角 .
④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数
满足 a2 + b 2= c 2 的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数
或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：
（ 3， 4， 5 ） (5， 12， 13 ) ( 6， 8， 10 ) ( 7， 24， 25 ) ( 8， 15， 17 )(9，
12， 15 )
常用勾股数口诀记忆
常见勾股数
3， 4， 5 ： 勾三股四弦五
5， 12， 13 ： 我要爱一生
6， 8， 10： 连续的偶数
7， 24 ， 25 ： 企鹅是二百五
8， 15 ， 17 ： 八月十五在一起
特殊勾股数
连续的勾股数只有 3， 4， 5
连续的偶数勾股数只有 6， 8， 10
- 1 - : .
4、 最短距离问题： 主要运用的依据是 两点之间线段最短。
二、考点剖析
考点一：利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积：（ 1）阴影部分是正方形；（ 2）阴影部分是长方形；（ 3）阴影部分是半
圆．
2. 如图，以 Rt △ ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个
半圆的面积之间的关系．
3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角 S
3
S 1
形， 其面积分别是 S 、S 、S ，则它们之间的关系是 （ ）
1 2 3
S 2
S - S = S B. S + S = S C. S +S < S D. S - S =S
A. 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 1
【类型题总结】
（ a） 如 图 （ 1） 分 别 以 直 角 三 角 形 ABC三 边 为 直 径 向 外 作 三 个 半 圆 ， 其 面 积 分 别 用 表 示 S 、 S 、 S 则
1 2 3
它 们 有 S +S=S关 系 ．
2 3 1
（ b） 如 图 （ 2） 分 别 以 直 角 三 角 形 ABC三 边 向 外 作 三 个 正 方 形 ， 其 面 积 表 示 S 、 S 、 S ． 则 它 们 有
1 2 3
S +S=S关 系 ．
2 3 1
（ c） 如 图 （ 3） 分 别 以 直 角 三 角 形 ABC三 边 向 外 作 三 个 正 三 角 形 ， 面 积 表 示 S 、 S 、 S ， 则 它 们 有
1 2 3
S +S=S关 系 ． 并 选 择 其 中 一 个 命 题 证 明 ．
2 3 1
考 点 ： 勾 股 定 理 ．
专 题 ： 计 算 题 ．
- 2 - : .
分 析 ： （ a） 分 别 用 AB、 BC和 AC表 示 出 S 、 S 、 S ， 然 后 根 据 AB2=AC2+BC2 即 可 得 出 S 、 S 、 S 的 关
1 2 3 1 2 3
系 ；
（ b） 分 别 用 AB、 BC和 AC表 示 出 S 、 S 、 S ， 然 后 根 据 AB2=AC2+BC2 即 可 得 出 S 、 S 、 S 的 关 系 ；
1 2 3 1 2 3
（ c） 分 别 用 AB、 BC和 AC表 示 出 S 、 S 、 S ， 然 后 根 据 AB2=AC2+BC2 即 可 得 出 S 、 S 、 S 的 关 系 ．
1 2 3 1 2 3
1 1 1
解 答 ： 解 ： （ 1） S = π AC2 ， S = π BC2 S = AB2
3 8 2 8 1 8
∴ S +S=S．
2 3 1
（ 2） S +S=S… （ 4 分 ）
2 3 1
由 三 个 四 边 形 都 是 正 方 形 则 ：
∵ S =AC2， S =BC2， S =AB2， … （ 8 分 ）
3 2 1
∵ 三 角 形 ABC是 直 角 三 角 形 ，
又 ∵ AC2+BC2=AB2… （ 10分 ）
∴ S +S=S．
2 3 1
3 3 3
（ 3） S = AB2 S = BC2 S = AC2
1 4 2 4 3 4
∴ S +S=S．
2 3 1
点 评 ： 此 题 主 要 涉 及 的 知 识 点 ： 三 角 形 、 正 方 形 、 圆 的 面 积 计 算 以 及 勾 股 定 理 的 应 用 ， 解 题 关 键 是 熟
练 掌 握 勾 股 定 理 的 公 式 ， 难 度 一 般 ．
4、四边形 ABCD 中， ∠ B=90°， AB=3， BC=4， CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。
（ S=36）
5、在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图 4 所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别
是 1、 2、 3，正放置的四个正方形的面积依次是 S 、 S 、 （ 此 题 为 2012•庆阳 中 考 题 ）
1 2
S 、 S ，则 S S S S =_______4______ 。
3 4 1 2 3 4
考 点 ： 勾 股 定 理 ； 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ．
专 题 ： 规 律 型 ．
- 3 - : .
分 析 ： 运 用 勾 股 定 理 可 知 ， 每 两
个 相 邻 的 正 方 形 面 积 和 都 等 于 中 间 斜 放 的 正 方 形 面 积 ， 据 此 即 可 解 答 ．
解 答 ：
解 ： 观 察 发 现 ，
∵ AB=BE， ∠ ACB=∠ BDE=90°，
∴ ∠ ABC+∠ BAC=90°， ∠ ABC+∠ EBD=90°，
∴ ∠ BAC=∠ EBD，
∴ △ ABC≌ △ BDE（ AAS） ，
∴ BC=ED，
∵ AB2=AC2+BC2，
∴ AB2=AC2+ED2=S+S，
1 2
即 S +S=1，
1 2
同 理 S +S=3．
3 4
则 S +S+S+S=1+3=4．
1 2 3 4
故 答 案 为 ： 4．
点 评 ： 运 用 了 全 等 三 角 形 的 判 定 以 及 性 质 、 勾 股 定 理 ． 注 意 发 现 两 个 小 正 方 形 的 面 积 和 正 好 是 之 间 的
正 方 形 的 面 积 ．
考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边
1．在直角三角形中 ,若两直角边的长分别为 1cm， 2cm ，则斜边长为 5 cm ．
2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为