文档介绍：第三章多维随机变量
第一节多维随机变量及其分布
第二节边缘分布
第三节条件分布
第四节随机变量的独立性
第五节随机变量函数的分布
: 设X1(ω),…,Xn(ω)为定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量,由它们构成的一个向量(X1, …,Xn)叫做n维随机变量或n维随机向量。
对于多维随机变量, 需要考虑 ①n维随机变量作为一个整体的概率分布或称联合分布;
②还要研究每个分量的概率分布;
③并且还要考察各分量之间的联系。
一、多维随机变量的定义
定义:若对任意xk∈R,k=1,2,…n,称n元函数
为随机向量(X1, …,Xn)的(联合)分布函数。
注释 (1) 事件{X1≤x1, …,Xn≤xn}是n个事件{Xk≤xk}同时发生的概率,故称为联合分布函数。
(2) F(x1,x2,…,xn)是普通的n元函数,这样,我们就把对随机向量的研究转化为对普通n元函数的研究。
二、多维随机变量的分布函数
(3) 二维随机向量(X,Y)可以看成平面上随机点的坐标。则(X,Y)分布函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}在(X,Y)处的函数值就是随机点(x,y)落在如图所示的以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形闭区域上的概率。
(1).F(x,y)是变量x 和y的不减函数,即 对于任意固定的y, 当x2>x1时,F(x2,y)≥F(x1,y); 对于任意固定的x,当y2>y1时,F(x,y2)≥F(x,y1)且 0≤F(x,y)≤1。
因为{X≤x1,Y≤y}{X≤x2,Y≤y}.
(2). 对于任意固定的y, F(-∞,y)=0; 对于任意固定的x, F(x,+∞)=0; F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1。
证:只证F(-∞,y)=0。因为 0≤P{X≤x,Y≤ y}≤P{X≤ x,Y<+∞},
所以0≤F(x, y)≤FX(x),令x →-∞,于是F( -∞)=0。
(3).F(x, y)=F(x +0, y), F(x, y)=F(x, y +0), 即F(x, y)关于x右连续,关于y也右连续.
证:只证F(x, y)=F(x +0, y)。
因为F(x +△x, y)= F(x, y)+P{x <X≤ x +△x,Y≤ y},
而 P{x <X≤ x +△ x,Y≤ y}≤FX(x +△ x) - FX(x)→0
(△ x →0).
故所证结论成立。
常用表格表示(X,Y)的分布律:
Y
X
Y 1 y 2 y j …
X 1 p 1 1 p 1 2 p 1 j … x 2 p 2 1 p 2 2 p 2 j … ……………… x i p i 1 p i 2 p i j … ………………
(1). pij≥0, i,j=1,2,…
(2) ,