文档介绍：(选修2-2)§(2课时)
教学设计
教学目标:
使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用
提高将实际问题转化为数学问题的能力
教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题.
教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题.
教学过程:

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,,我们知道,导数是求函数最大(小),我们利用导数,解决一些生活中的优化问题.

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面:
1、与几何有关的最值问题;
2、与物理学有关的最值问题;
3、与利润及其成本有关的最值问题;
4、效率最值问题。
解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路:
建立数学模型
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
三、事例引入

学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。-1所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?
解:设版心的高为xdm,则版心的宽为dm,此时四周空白面积为
。
求导数,得
。
令,解得舍去)。
于是宽为。
当时,<0;当时,>0.
因此,是函数的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最小。
答:当版心高为16dm,宽为8dm时,海报四周空白面积最小。

(1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?
(2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
【背景知识】:,其中是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?
解:由于瓶子的半径为,所以每瓶饮料的利润是

令解得(舍去)
当时,;当时,.
当半径时,它表示单调递增,即半径越大,利润越高;
当半径时, 它表示单调递减,即半径越大,利润越低.
(1)半径为cm 时,利润最小,这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
(2)半径为cm时,利润最大.
换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现?
有图像知:当时,,即瓶子的半径为3cm时,饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等;当时,利润才为正值.
当时,,为减函数,其实际意义为:瓶子的半径小于2cm时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为