文档介绍：02 数学通讯 2001 年第 9 期
一个最值问题的解法
张国定
(民乐一中,甘肃 734500)
中图分类号:O122 - 44 文献标识码:A 文章编号:0488 - 7395 (2001) 09 - 0020 - 02
x1 x2 c1 1 c2 1
我们知道对于函数 f ( x1 , x2) = 2 2 ,因为有≥x1 x2 + x2 x3 . 令= + = .
x1 + x2 2 2 c1 2 2 c2
2 2 1 1 2 2 2 2
x1 + x2 ≥2 x1 x2 . 所以 f ( x1 , x2 ) 的最大值为. 那即 c1 = 2 , c2 = 时有( x1 + x2 + x3 ) ≥x1 x2 +
2 2 2
么对一般化问题 f ( x , x , ⋯, x ) =
1 2 n 2
x2 x3 , ∴ f ( x1 , x2 , x3) 的最大值为.
x1 x2 + ⋯+ x n - 1 x n 2
2 2 2 ( x1 , x2 , ⋯, x n 不同时为零) 的
x1 + x2 + ⋯+ x n 用同样的办法,我们计算出:
最大值又该如何考虑? 5 + 1
当 n = 4 时, f ( x1 , x2 , x3 , x4) 的最大值为.
x1 x2 + x2 x3 4
当 n = 3 时, f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 2 2 . 引入
x1 + x2 + x3 3
当 n = 5 时, f ( x1 , x2 , ⋯, x5) 的最大值为.
2 2 2 2 2 2 2
正参数 c1 , c2 , 因为 c1 x1 + x2 ≥2 c1 x1 x2 , c2 x2 + x3
我们将上述结果改写为:
c1 2 1 2
≥2 c2 x2 x3 . 所以 x1 + x2 ≥x1 x2 , 1 π
2 2 c1 f ( x , x ) = = cos .
1 2 max 2 3
c2 2 1 2
x2 + x3 ≥x2 x3 . 2 π
2 2 c2 f ( x , x , x ) = = cos .
1 2 3 max 2 4
c1 2 1 c2 2 1 2
两同向不等式相加得 x1 + ( + ) x2 + x3
2 2 c1 2 2 c2
sinα sinα 1
+ + ⋯+ sinα+ [sin (2 k + 1)α- sinα]
cos kαcos( k - 1)α cos( k - 1)αcos( k - 2)α 2
=
cos( k + 1)αcos kα
sinα sinα
+ = tg kα,那么, 1
cos2αcosα cosα[sin(2 k + 1)α+ sinα]
2
sinα sinα= αα
+ + cos( k + 1) cos k
( )ααα( )α
cos k + 1 cos k cos k cos k - 1 1
× 2sin( k + 1)αcos kα
sinα sinα sinα 2
+ ⋯+ + = = tg( k + 1)α,
cos( k - 1)αcos( k - 2)