文档介绍：§ 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
二、基本积分表
三、不定积分的性质
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一、原函数与不定积分的概念
一、原函数与不定积分的概念
原函数的概念
如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一xI, 都有
F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx,
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.
原函数举例
所以sin x是cos x的原函数.
因为(sin x)cos x ,
提问:
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问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在?
2. 若原函数存在, 它如何表示?
原函数存在定理
如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一xI 都有
F (x)f(x).
简单地说就是: 连续函数一定有原函数.
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
说明:
1. 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数, F(x)C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数.
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2. 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,
即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则
(x)F(x)C (C为某个常数).
证: 1)
又知
故
即
属于函数族
即
不定积分中各部分的名称:
------ 称为积分号,
f(x) ------ 称为被积函数,
f(x)dx ------ 称为被积表达式,
x ------ 称为积分变量.
不定积分的概念
在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作
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根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)C就是f(x)的不定积分, 即
在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作
不定积分的概念
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C 称为积分常数
不可丢!
例1
因为sin x 是cos x 的原函数, 所以
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则
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例2
合并上面两式, 得到
解
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则
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