文档介绍：§ 定积分概念与性质
一、定积分问题举例
二、定积分定义
三、定积分的性质
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一、定积分问题举例
曲边梯形
设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.

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观察与思考
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?
怎样求曲边梯形的面积?
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求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
(2)近似代替:
(4)取极限:
设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
(3)求和: 曲边梯形的面积近似为;
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已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S.
(1)分割:
T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, Dtititi1;
(2)近似代替:
物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
DSiv(i)Dti ( ti1< i<ti );
物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
(3)求和:
(4)取极限:
记max{Dt1, Dt2,, Dtn}, 物体所经过的路程为
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二、定积分定义
定积分的定义
在小区间[xi1, xi]上任取一点xi (i1, 2,, n),
作和
max{Dx1, Dx2,,Dxn};
记Dxi=xi-xi1 (i1, 2,, n),
ax0<x1<x2< <xn1<xnb;
在区间[a, b]内插入分点:
设函数f(x)在区间[a, b]上有界.
如果当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a, b]的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上
的定积分, 记为
即
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定积分各部分的名称
————积分符号,
f(x) ———被积函数,
f(x)dx ——被积表达式,
x ————积分变量,
a ————积分下限,
b ————积分上限,
[a, b]———积分区间,
定积分的定义
二、定积分定义
———积分和.
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定积分的定义
二、定积分定义
说明:
定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即
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函数的可积性
如果函数f(x)在区间[a, b]上的定积分存在, 则称f(x)在区间[a, b]上可积.
定理1
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积.
定理2
如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积.
定积分的定义
二、定积分定义
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定积分的几何意义
当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.
当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.
这是因为
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