文档介绍：数学模型
第三章简单的优化模型
存贮模型
生猪的出售时机
森林救火
最优价格
血管分支
消费者均衡
冰山运输
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数学模型
静态优化模型
•现实世界中普遍存在着优化问题
•静态优化问题指最优解是数(不是函数)
•建立静态优化模型的关键之一是根
据建模目的确定恰当的目标函数
•求解静态优化模型一般用微分法
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存贮模型
问题
配件厂为装配线生产若干种产品,轮换产品时因更换设
备要付生产准备费,产量大于需求时要付贮存费。该厂
生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。
已知某产品日需求量100件,生产准备费5000元,贮存费
每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多少天生产
一次(生产周期),每次产量多少,使总费用最小。
要不只是回答问题,而且要建立生产周期、产量与
求需求量、准备费、贮存费之间的关系。
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数学模型
问题分析与思考
日需求100件,准备费5000元,贮存费每日每件1元。
•每天生产一次,每次100件,无贮存费,准备费5000元。
每天费用5000元
• 10天生产一次,每次1000件,贮存费900+800+…+100 =4500
元,准备费5000元,总计9500元。
平均每天费用950元
• 50天生产一次,每次5000件,贮存费4900+4800+…+100
=122500元,准备费5000元,总计127500元。
平均每天费用2550元
10天生产一次平均每天费用最小吗?
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数学模型
问题分析与思考
•周期短,产量小贮存费少,准备费多
•周期长,产量大准备费少,贮存费多
存在最佳的周期和产量,使总费用(二者之和)最小
•这是一个优化问题,关键在建立目标函数。
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数
目标函数——每天总费用的平均值
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数学模型
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r;
2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2;
3. T天生产一次(周期), 每次生产Q件,当贮存量
为零时,Q件产品立即到来(生产时间不计);
4. 为方便起见,时间和产量都作为连续量处理。
建模目的
设 r, c1, c2 已知,求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
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数学模型
* 模型建立离散问题连续化
q
贮存量表示为时间的函数 q(t)
Q
t=0生产Q件,q(0)=Q, q(t)以 r
需求速率r递减,q(T)=0.
A=QT/2
Q rT 0 T t
2
一周期贮存费为一周期~ Q rT
C c1 c2 T c1 c2
c T q(t)dt c A 总费用 2 2
2 0 2
~
每天总费用平均 C c c rT
C (T ) 1 2
值(目标函数) T T 2
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数学模型
c c rT
模型求解求 T 使C(T ) 1 2 Min
T 2
dC 2c r
0 2c1 1
dT T Q rT
rc 2 c2
模型分析
r T ,Q
c1 T,Q c2 T,Q
模型应用 c1=5000, c2=1,r=100
•回答问题 T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
与P61中部计算的C=950不
同,为什么?
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数学模型
•经济批量订货公式(EOQ公式)
用于订货、供应、存贮情形
每天需求量 r,每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ,
T天订货一次(周期), 每次订货Q件,当贮存量降到
零时,Q件立即到货。
2c 2c r
T 1 Q rT 1
rc
2 c2
不允许缺货的存贮模型
•问:为什么不考虑生产费用?(见P62中上部)
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* 数学模型
•敏感性分析
•讨论c1, c2, r的微小变化,对生产周期T的影响
• T对c1, 的敏感度记为S(T, c1)
T/T dT*c1
S(T, c1) = ≈
c1/c1 dc1*T
2c
根据 T 1 得S(T, c1) =1/2 ,即c1增加1%,%
rc 2