文档介绍：二、两向量的向量积
一、两向量的数量积
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一、两向量的数量积
设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s表示位移.
数量积的物理背景
由物理学知道, 力F所作的功为
W|F||s|cos,
其中为F与s的夹角.
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对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos.
数量积的定义
根据数量积, 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积, 即WFs.
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一、两向量的数量积
数量积与投影
由于|b|cos|b|cos(a,^ b),
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当a0时, |b|cos(a,^ b)是向量b在向量a的方向上的投影, 于是
a·b|a|Prjab.
同理, 当b0时, a·b|b|Prjba.
所以,
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos.
数量积的定义
一、两向量的数量积
数量积的性质
(1) a·a|a|2.
(2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 a·b0, 则 ab;
反之, 如果ab, 则a·b0.
如果认为零向量与任何向量都垂直, 则
aba·b0.
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对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos.
数量积的定义
一、两向量的数量积
数量积的运算律
(1)交换律: a·bb·a;
(2)分配律: (ab)·ca·cb·c.
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(3)(a)·ba·(b)(a·b),
(a)·(b)(a·b),
其中、为数.
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos.
数量积的定义
一、两向量的数量积
例1 试用向量证明三角形的余弦定理.
要证c2=a2+b2-2abcosq .
则有 ca-b,
从而|c|2cc(a-b)(a-b)
aa+bb-2ab
|a|2+|b|2-2|a||b|cos(a,^ b),
即 c2a2+b2-2abcosq.
证明
在DABC中,
∠BCAq, |CB|=a, |CA|=b, |AB|=c,
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提示:
数量积的坐标表示
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aaxiay jazk, bbxiby jbzk,
a·b(axiay jazk)·(bxiby jbzk)
axbxi·iaxbyi·jaxbzi·k
aybx j·iayby j·jaybz j·k
azbxk·iazbyk·jazbzk·k
axbxaybyazbz .
a·baxbxaybyazbz .
设a(ax ay az ) b(bx by bz )则
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数量积的坐标表示
a·baxbxaybyazbz .
设a(ax ay az ) a(bx by bz )则
设(a^ b)则当a0、b0时, 有
向量夹角余弦的坐标表示
提示
a ·b|a||b|cos
例2 已知三点M(1, 1, 1)、A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB.
从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则AMB 就是向量a与b的夹角.
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因为 ab1110011,
b(2, 1, 2)(1, 1, 1)
a(2, 2, 1)(1, 1, 1)
(1, 1, 0),
(1, 0, 1).
解