文档介绍：一、曲面方程的概念
二、旋转曲面
三、柱面
§7. 3 曲面及其方程
上页
下页
铃
结束
返回
首页
四、二次曲面
一、曲面方程的概念
在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹.
那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的图形.
(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)0;
(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)0,
曲面方程的定义
如果曲面S与三元方程
F(x, y, z)0
有下述关系:
下页
例1 建立球心在点M0(x0, y0, z0)、半径为R的球面的方程.
解
设M(x, y, z)是球面上的任一点, 那么
|M0M|R,
或(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2.
因为球面上的点的坐标一定满足上述方程, 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程, 所以上述方程就是所求的球面的方程.
下页
例2 设有点A(1, 2, 3)和B(2, 1, 4), 求线段AB的垂直平分面的方程.
由题意知道, 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹.
设M(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有
|AM||BM|,
等式两边平方, 然后化简得
2x6y2z70.
这就是所求的平面的方程.
下页
解
(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的方程;
(2)已知坐标x、y和z间的一个方程时, 研究这方程所表示的曲面的形状.
研究曲面的两个基本问题
通过配方, 原方程可以改写成
(x1)2(y2)2z25.
一般地, 三元二次方程
Ax2Ay2Az2DxEyFzG0
的图形就是一个球面.
首页
例3 方程x2y2z22x4y0表示怎样的曲面?
解
二、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴.
下页
例如:
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
故旋转曲面方程为
当绕 z 轴旋转时,
若点
给定 yoz 面上曲线 C:
则有
则有
该点转到
下页
提问:
曲线f(y, z)0绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程是什么?
例4 试建立顶点在坐标原点O, 旋转轴为z轴, 半顶角为的圆锥面的方程.
解
在坐标面yOz内, 与z轴夹角为的直线的方程为
zycot,
或 z2a2(x2y2),
这就是所求的圆锥面的方程, 其中acot.
下页
曲线f(y, z)0绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为
绕 x 轴和 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程分别为
解
旋转双叶双曲面
旋转单叶双曲面
首页
轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.
例5