文档介绍：一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
§ 空间曲线及其方程
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线.
设曲线C是曲面S1与S2的交线,
因此, 曲线C可以用上述方程组来表示.
上述方程组叫做空间曲线C的一般方程.
则点P在曲线C上当且仅当点P的坐标满足方程组
S1 F(x, y, z)=0,
S2 G(x, y, z)=0,
而曲面的方程分别为
例1
方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 其准线是xOy 面上的圆, 圆心在原点O, 半径为1.
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方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面, 由于它的准线是zOx面上的直线, 因此它是一个平面.
方程组所表示的是上述平面与圆柱面的交线.
解
方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半径为2a的上半球面.
因此, 方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.
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解
方程组中第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 它的准线是 xOy 面上的圆这圆的圆心在点(a 0) 半径为a
例2
二、空间曲线的参数方程
空间曲线C的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数:
当给定t=t1时, 就得到C上的一个点(x1, y1, z1); 随着t的变动便得曲线C上的全部点. 上述方程组叫做空间曲线的参数方程.
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例3 空间一动点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度w绕z轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中w、v都是常数), 试建立动点轨迹的参数方程.
设当t=0时, 动点位于x轴上的一点A(a, 0, 0)处. 经过时间t, 动点由A运动到M(x, y, z).
所以动点轨迹的参数方程为
x=acoswt,
y=asinwt,
取时间t为参数.
解
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z=vt,
因为
动点轨迹的参数方程为
令q=wt, 则参数方程又可写为
这种动点的轨迹叫做螺旋线.
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例3 空间一动点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度w绕z轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中w、v都是常数), 试建立动点轨迹的参数方程.
取时间t为参数.
解
:
解: (1)
根据第一方程引入参数,
(2) 将第二方程变形为
故所求为
得所求为
三、空间曲线在坐标面上的投影
投影柱面与xOy面的交线叫做曲线C在xOy面上的投影曲线, 或简称投影.
类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影.
投影柱面与投影(曲线)
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以空间曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面.
投影柱面
投影曲线
投影(曲线)的确定
设空间曲线C的一般方程为
方程组中的两个方程消去变量z后可得一个关于x, y的方程
H(x, y)=0,
曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为
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三、空间曲线在坐标面上的投影
这就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程.
投影柱面
投影曲线
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