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2012 全面几何试题]
1. 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为 A，B 所作割线交圆于
C，D 两点，
C 在 P，D 之间，在弦 CD 上取一点 Q，使∠DAQ ＝∠PBC．求证：∠DBQ
＝∠PAC．
P
A
C
Q
B
D
⌒
2、如图， M ，N 分别为锐角三角形 ABC （ A B ）的外接圆 上弧 BC 、
⌒ 的中点．过点 C 作 PC ∥MN 交圆 于 P 点， I 为 ABC 的内心，连接 PI 并
AC
延长交圆 于T ．
⑴ 求证： MP MT NP NT ；
⑵ 在弧 AB⌒（不含点 ）上任取一点 （ ， ， ），记 ，
C Q Q ≠ A T B AQC △QCB
的内心分别为 I ， I ，求证： Q ， I ， I ，T 四点共圆．
1 2 1 2
P C
N M
I
B
T
A
Q
1 : .
切于两条平行线l ,l ，第二个圆 e O 切 l 于 A ，外切 e O 于 C ，第
1 2 1 1
三个圆 e O 切l 于 B ，外切 e O 于 D ，外切 e O 于 E ，AD 交 BC 于 Q ，
2 2 1
求证 Q 是 CDE 的外心。
（35 届 IMO 预选题）
如图，给定凸四边形 ABCD ， B D 180 o ， P 是平面上的动点，
令 f (P) PA BC PD CA PC AB ．
（Ⅰ）求证：当 f (P) 达到最小值时， P,A,B,C 四点共圆；
» AE 3 BC
（Ⅱ）设 E 是 ABC 外接圆 O的 AB上一点，满足： ， 3 1 ，
AB 2 EC
1
ECB ECA ，又 DA , DC 是 e O 的切线， AC 2 ，求 f (P) 的
2
最小值．
图 1
2 : .
5. 在直角三角形ABC 中，ACB 90 ，△ABC 的内切圆 O 分别与边 BC，
CA， AB 相切于点 D，E，F，连接 AD，与内切圆 O 相交于点 P，连接 BP，
CP，若BPC 90 ，求证： AE AP PD ．
6. 给定锐角三角形 PBC， PB PC．设 A，D 分别是边 PB，PC 上的点，连
接 AC，BD，相交于点 O. 过点 O 分别作 OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E，
F，线段 BC，AD 的中点分别为 M，N．
（1）若 A，B，C，D 四点共圆，求证： EM FN EN FM ；
（2）若 EM FN EN FM ，是否一定有 A，B，C，D 四点
P
共圆？证明你的结论．
．
A N
D
E
F
O
Q
R
B C
M
3 : .
7. 如图，已知 △ABC 内切圆 I 分别与边 AB、BC 相于点 F、D，直线 AD、CF
分别交圆 I 于另一点 H、K.
FD HK
求证： 错误!未找到引用源。 3 .
FH DK A
H
F I
K
B C
D
8. 如图 10,⊙ O 是△ ABC 的边 BC 外的旁切圆,D、E、F 分别为⊙O 与 BC、
CA、AB 的切点 .若 OD 与 EF 相交于 K, 求证：AK 平分 BC.
A