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初三数学解直角三角形知识精讲.pdf

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初三数学解直角三角形知识精讲.pdf

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】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。:..初三数学解直角三角形知识精讲解直角三角形直角三角形是在实际生产、生活中遇到的最多的几何图形之一,因此有关直角三角形的求解计算是经常需要的,有些斜三角形的计算也可以通过添加适当的辅助线将它转化为直角三角形进行求解。:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素(其中至少有一条边),求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。,在Rt?ABC中,?C?90?BcaAbC(1)三边之间的关系:a2?b2?c2(2)锐角之间的关系:?A??B?90?(3)边与角之间的关系:absinA?cosB?,cosA?sinB?ccabtanA?cotB?,cotA?tanB?ba(4)Rt?ACB中,CD?AB于D设CD?h,AD?q,BD?p,则a2?b2?c2,a2?pc,b2?qca2ph2?pq,?,ab?,恰当地选用直角三角形中五个元素之间的关系是正确、迅速地解直角三角形的关键。如:?ABC中,?C?90?,已知a、b解这个直角三角形:..AcbBaC(1)利用勾股定理求c。(2)在求两个锐角?A、?B时,利用边角关系,最好不要选择正弦或余弦函数,因为在求c时,可能出现计算错误,从而导致连锁性错误的发生。解直角三角形的基本类型:已知条件解法一条边和斜边c和锐角AB?90??A,a?csinA,osA一个锐角直角边a和锐角AaB?90??A,b?acotA,c?sinA两条边两条直角边a和bac?a2?b2,由tanA?,求?A,?B?90???A直角边a和斜边cbab?c2?a2,由sinA?,求?A,?B?90???,归结为直角三角形中元素之间的关系,根据题意,准确画出示意图,利用已学过的几何图形用有关性质,作出必要的辅助线,将实际问题转化为解直角三角形的问题。解直角三角形的实际问题有以下几个常见的类型(1)解斜三角形,利用题目中的特殊角30?、45?、60?,通过作高线,构造直角三角形。有些非特殊角与特殊角有着直接联系,如:30°15°15?????15??30?75??分解???30??45?105??分解???45??60???分解???60??60?(作120?角的平分线)?120????分解???180??60?(作120?角的邻补角)???分解???90??45?(过135?角的顶点作其一边的垂线)?135????分解???180??45?(作135?角的邻补角)???分解???90??60?(过150?角的顶点作其一边的垂线)?150????分解???180??30?(作150?角的邻补角)?(2)解四边形:..<1>平行四边形:作高线构造直角三角形。<2>菱形:作对角线或作高线,构造直角三角形。<3>矩形:作对角线,构造直角三角形。<4>正方形:作对角线,构造直角三角形。<5>梯形:作高线,构造直角三角形和矩形。<6>一般四边形:作对角线或利用题目中的特殊角或与特殊角有联系的非特殊角,通过作适当的辅助线构造直角三角形。(3)解测量、航行中的问题:掌握常用概念:仰角、俯角、坡度、坡角、水位、方向角、水平距离、垂直距离等。例(99,安徽)在高2米,坡角为30?的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需_______米。()分析:由生活经验可知,在楼梯表面铺地毯时,对每一台阶既要铺水平面又要铺铅直面,而所有台阶水平面的宽度之和刚好等于整个楼梯的水平宽度,所有台阶铅直面的高度之和恰好等于整个楼梯的高度,所需地毯的长度应不少于楼梯水平宽度与铅直高度之和。解:如图,B2米AC在Rt?ABC中,?A?30?,BC?2米,?C?90?则AC?BC?cotA?2?cot30??23AC?BC?23?2?2?1732.?2?55.(米)答:。说明:三角应用题是近年来中考热点题型,它主要考察学生对基本知识掌握的程度和应用能力,以及学生的综合素质,希望同学在学好基础知识的基础上要深入生活、勤于观察、积累经验、学会应用。例(2002,山西省)如图,MN表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30?,在M的南偏东60?方向上有一点A,以A为圆心,500米为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75?,已知MB?400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?:..北东M30°30°B45°AN分析:首先弄清方位,准确掌握方位角的画法。依据题意,即求点A到MN的距离,再与500作比较。解:过A作AC?MN于C,设AC长为xm北东M30°30°B45°ACN由题意可知?AMC?30?,?ABC?45??MC?AC?cot30??3x,BC?AC?x?MC?BC?MB?3x?x?400解得x?200(3?1)?x?500答:不改变方向,输水线路不会穿过居民区。,在?ACD中,?A?45?,CB?5,CD?7,BD?3,求?CBD及AC的长。CABD分析:通过作高线CE可得到三个直角三角形,若能求出CE的长,则?CBD及AC:..均易得出。可设CE?x,BE?y,在?CEB及?CED中利用勾股定理建立关于x、y的二元方程组求解。解:作CE?AD于E,设CE?x,BE?y,则有CAEBD?x2?y2?52(1)???x2?(y?3)2?72(2)?(2)?(1)得6y?9?72?52?245?y?255?x?52?y2?52?()2?3225BE21cos?CBE???CB52??CBE?60??CBD?180??60??120?53CE25AC???6sin45?,ABCD是正方形,E为BC上一点,将正方形折叠,使A点与E点重1合,折痕为MN,若tg?AEN?,DC?CE?10,求:3(1)?ANE的面积;(2)sin?ENB。DMCEANB分析:若求出AN、EB的长,即可求出?ANE的面积及BN的长,则sin?ENB的值1也可求出,由已知条件可知NE?NA,则tg?AEN?tg?EAN?,从而得到3EB:AB?13:,根据DC?CE?10,即可求出BE及AB的长,再进一步求出AN。:..解:(1)?A、E两点关于直线MN对称,?NA?NE??AEN??EAN1?tg?EAN?tg?AEN?3EB1??B?90?,?tg?EAN??AB3设BE?x,则AB?3x?DC?BC?AB?3x?CE?2x?DC?CE?5x?10,x?2即EB?2,AB?6设AN?y,则EN?y,BN?6?y?BN2?EB2?EN2?(6?y)2?22?y210解得y?31010即AN?,NE?33111010S?AN?BE???2??ANE2233EB23(2)sin?ENB???EN1053说明:本题是一道综合性的题目,涉及到正方形性质,轴对称性质及解直角三角形的有关知识,要注意运用分析综合法寻找解题途径,并注意应用方程这个工具求解。、b、c是?ABC三边的长,其中b?a?c,且方程ax2?2bx?c?0两根差的绝对值等于2,求?ABC中最大角的度数。分析:由已知条件b?a?c可知这是一个等腰三角形,且底边b最长,则最大角为?B,求出?ABC中的底角A(或C)即可,我们可以先求角A(或C)的三角函数值,再确定bAD2b角的大小,由图知cosA???,则关键是求出b与c的比值,通过一元二次方ABc2c程中的条件可得到关于c、b的方程,则问题得到解决。BcaADC解:过B作BD?AC于D?a?c,?方程为cx2?2bx?c?0设x、x为方程的两个根,则有12:..2bx?x?,xx?112c12?|x?x|?212?(x?x)2?212(x?x)2?4xx?21212b(2)2?4?2cb?2?6(舍负)cb??3cb2b3cosA???,??A?30?c2c2??B?180??30??30??120?说明:这是一道方程与几何知识的综合题,三角形的边是一元二次方程的系数,利用方程条件导出边的关系,由边的关系再进一步求角的大小。,D是AB上一点,且CD?AC于C,S:S?2:3,cos?DCB?,?ACD?CDB5AC?CD?18,求tanA的值和AB的长。,正三角形?ABC的边长为2,点D在BC的延长线上,CD=3(1)动点P在AB上由A向B移动,设AP?t,?PCD的面积为y,求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围。(2)在(1)的条件下,设PC?z,求z与t之间的函数关系式。?ABC中,?C?90?,若sinA、sinB是方程x2?2x?k?0的两个根,求?A、?B的度数及k的值。?A是?ABC的一个内角,关于x的一元二次方程x2cos?8x?162?0有2两个相等的实数根,且这个方程的根恰好是?ABC的两边b与c的和(其中b?c),又已知S?3,求:?ABC:..(1)?A的度数;(2)?ABC三边的长。,?DAB?60?,E为AD上一动点,F在CD上满足条件AE?CF?a,判断?BEF的形状,并求?BEF的面积的最小值。,在直线a上的三个点A、B、C处分别测得塔顶D的仰角为30?、45?、60?,同时量得AB?BC?600米,求塔面DE多少米?DEaCBA:..参考答案:作DE//AC交CB于E,则?EDC??ACD?90?CD4??cos?DCE?CE5?设CD?4k,CE?5k(k?0),则DE?3k?AD:DB?S:S?2:3?ACD?CDBACABAD?DB5????DEDBDB355即AC?DE??3k?5k33CD4k4?tanA???AC5k5?AC?CD?18,?5k?4k?18解得k?2?AD?AC2?CD2?41k?2413?AB?AD?DB?AD?AD?:作PE?BC于E(1)?AP?t,AB?2,?BP?2?t(0?t?2)又??B?60?11?S?CD?PE?CD?BPsinB?PCD2233?(2?t)2233?(2?t)(0?t?2)4(2)由(1)不难得出31PE?(2?t),BE?(2?t)2211?EC?2?BE?2?(2?t)?(2?t)2231?PC2?PE2?EC2?(2?t)2?(2?t)2?t2?2t?444?PC?t2?2t?4(0?t?2):?Rt?ABC,?C?90???A??B?90?,?sinA?cosB?sin2B?cos2B?1,?sin2A?sin2B?1?sinA、sinB是方程x2?2x?k?0的两根?sinA?sinB?2,sinAsinB??k:..?sin2A?sin2B?(sinA?sinB)2?2sinAsinB?2?2k?11解得k??21?方程x2?2x?k?0即为x2?2x??022解得x?x?1222即sinA?sinB?2??A??B?45?:(1)?一元二次方程有两个相等的实数根A???82?4?162cos?02A2cos?22?A??45?,即?A?90?2A2(2)x2cos?8x?162?0即为x2?8x?162?022解得x?42?b?c?42(1)??A?90?,?b2?c2?a2(2)1?S?3,?bc?3(3)?ABC2又b?c(4)?a?25??由(1)(2)(3)(4)解得?b?32??c?2??三边长为25、32、:设AE?x,则CF?a?x过E作EG?AB于G在Rt?AEG中,1AG?AE?cos60??x23EG?AE?sin60??x2:..1?BG?AB?AG?a?x2在Rt?BEG中31BE2?EG2?BG2?(x)2?(a?x)2?x2?ax?a222分别过B、E作CD的垂线,同理可得BF2?x2?ax?a2,EF2?x2?ax?a2?BE2?BF2?EF2即BE?BF?EF??BEF为等边三角形333a3又S?BE2?(x2?ax?a2)?[(x?)2?a2]?BEF44424a当x?即E为AD的中点时,S取得最小值,其最小值为2?BEF3333S??a2?a2?:注意这是立体图形,直线a和水塔底面E在同一水平面上,DE垂直此平面,所以DE?EC,DE?BE,DE?AE,这是解决本题的关键。解:设塔高为h米,依题?CDE?30?,?BDE?45?,?ADE?60?在Rt?ADE、Rt?BDE、Rt?CDE中得AE?h?ctg30??3hBE?h?ctg45??h3CE?h?ctg60??h3过E作EF?AC于FE3h3h3CFBA设CF?x,?AB?BC?600,?AF?1200?x?EF2?CE2?CF2?AE2?AF23?(h)2?x2?(3h)2?(1200?x)231x?600?h2900BE2?EF2?BF23?(h)2?x2?(600?x)231?h2?x2?6002?1200x?x23:..11?h2?6002?1200(600?h2)39005?h2?60023又?BE?h5?h2?h2?60023解得h?3006答:水塔高3006米

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