高等代数【北大版】7.8.ppt

文档介绍：§2 线性变换的运算
§3 线性变换的矩阵
§4 特征值与特征向量
§1 线性变换的定义
§6线性变换的值域与核
§8 若当标准形简介
§9 最小多项式
§7不变子空间
小结与****题
第七章线性变换
§5 对角矩阵
一、若当(Jordan)形矩阵
二、若当(Jordan)标准形
§ λ─矩阵介绍
λ─矩阵介绍
由§,n维线性空间V的线性变换在某组基下
的矩阵为对角形
有n个线性无关的特征向量.
的所有不同特征子空间的维数之和等于n .
可见,并不是任一线性变换都有一组基,使它在这
组基下的矩阵为对角形.
本节介绍,在适当选择基下,一般的线性变换的
矩阵能化简成什么形状.
引入
λ─矩阵介绍
的矩阵称为若当(Jordan)块,其中为复数;
一、若当(Jordan)形矩阵
定义:形式为
由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵.
λ─矩阵介绍
如:
都是若当块;
而下面的准对角形则是一个若当形矩阵.
注:一级若当块就是一级矩阵,从而对角矩阵都是
若当形矩阵.
λ─矩阵介绍
1、设是复数域C上n维线性空间的一个线性变换,
在V中必存在一组基,使在这组基下的矩阵是若当
形矩阵,并是除若当块的排列次序外,该若当形由
唯一决定,称之为的若当标准形.
二、若当(Jordan)标准形
2、任一n级复矩阵A总与某一若当形矩阵相似,
并且除若当块的排列次序外,该若当形矩阵由矩阵
A唯一决定,称之为矩阵A的若当标准形.
λ─矩阵介绍
3、在一个线性变换的若当标准形中,主对角线
上的元素是的特征多项式的全部根(重根按多数
(1、2、3的证明将在第八章给出)
计算).
λ─矩阵介绍
的矩阵为若当(Jordan)块.
附:有时也规定形式为
λ─矩阵介绍