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. 全国大学Th数学竞赛预赛
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. (非数学类,2016 年 10 月)
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. 绝密 ⋆ 启用前 (14 金融工程-白兔兔)
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业 . 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分
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专 .
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. 题 号 一 二 三 四 五 六 总 分
业 .
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专 线.
和 满 分 30 14 14 14 14 14 100
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级 .
年 . 得 分
.
、 .
校 .
. 注意：, 写在其他纸上一律无效.
级 院 .
. 密封线左边请勿答题 密封线外不得有姓名及相关标记
年 在 . 2. , .
所 .
. 可写在当页背面 并标明题号.
、 . , ,
号 .
.
证 . 一 (填空题, 本题满分 30 分, 共 5 小题, 每小题 6 分)
.
份 .
身 . ( )
. ( ) n
、 . f a + 1
. 1. 若 f (x) 在点 x = a 可导, 且 f (a) = 0 , 则 lim n =
名 . ̸ f (a)
. → + ∞
姓 封.
校 写 f (a)
院 填 .
.
在 并 . f ( 2 x + x) 3x
. ′ 存在 则极限 sin cos tan
. 2. 若 f (1) = 0 , f (1) , lim =
。 (e 2 − 1) sin x
所 . x→0 x
置 .
位 . ∂z
. 设 f (x) 有连续导数 且 f (1) = 2 记 z = f (exy2), 若 则当
封 . 3. , . = z, x > 0 ,
密 . ∂x
. f (x) =
出 .
空 .
.
上 . 4. 设 f (x) = ex sin 2x , 则 f (4)(0) =
纸 .
. x
题 . 2 + y2
. 5. 曲面 z = 平行于平面 2x + 2y − z = 0 的切平面方程为
答 . 2
附 .
号 .
所 . 二 (本题满分 14 分)
证 密.
在
份 请 设 f (x) 在 [0, 1] 可导 f (0) = 0 且当 x ∈ (0, 1) 0 < f ′(x) < 1
. , , , .
身 .
. ( ∫ ) ∫
. a 2 a
. 试证当 a ∈ (0, 1)
. , f (x) d x > f 3(x) dx .
.
. 0 0
.
.
.
.
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.
.
.
.
名 .
.
姓 .
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.
三 (本题满分 14 分)
某物体所在的空间区域为 Ω : x2 + y2 + 2z2 ⩽ x + y + 2z,
密度函数为 x2 + y2 + z2 , 求质量
∫ ∫ ∫ (x2 + y2 + z2) dx dy dz
M =
Ω
Ω
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姓 名 身 份 证 号 所 在 院 校 年 级 专 业
请在所附答题纸上空出密封位置。并填写姓名、身份证号、所在院校、年级和专业
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 密 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 封 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
证明 设函数五 证明 设函数四
本题满分( 本题满分(
: :
在
f f
(0 x( x(
, ) )
1) 在区间 在闭区间
内存在不同的两点 14 14
分 n 分
→∞lim
[0 ) )
, n
1] ( [0
上连续 ∫ 1] ,
0
1 上具有连续导数
f f
第 x( 1 x(
1 , )
3 ) x 且 d
页 + 1 x
, I −
共 , f x
( 2 = n 1
x 1 使得
2) ∫ k ∑
4 0 =1 n
页 = 1 ,
0 f f f
I 2 . ( ( (0)
x n k
) ) =
d )
x 0
̸ = ,
f
= − (1)
2 1 =
1
.
六 (本题满分 14 分)
设 f (x) 在 ( −∞, + ∞ ) 可导 , 且
√
f (x) = f (x + 2) = f (x + 3)
用 Fourier 级数理论证明 f (x) 为常数
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