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文档介绍：二、函数的极限的性质
一、函数极限的定义
§ 函数的极限
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设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义如果存在常数A对于任意给定的正数总存在正数使得当x满足不等式0<|xx0|时对应的函数值f(x)都满足不等式
|f(x)A|
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限记为
定义的简记形式
e >0d >0当0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e 
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一、函数极限的定义
A
y=f(x)
x0
函数极限的几何意义
当0|x-x0|d 时|f(x)-A|e :
e >0:
d >0:
A-e
A+e
x0-d
x0+d
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注:
单侧极限
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若当xx0-时 f(x)无限接近于某常数A则常数A叫做函数f(x)当xx0时的左极限记为
或f(x0)=A .
xx0表示x从x0的左侧(即小于x0)趋于x0 ,
xx0+表示x从x0的右侧(即大于x0)趋于x0 .
e 0d 0当x0dxx0有|f(x)A|<e 
精确定义
类似地可定义
如果当|x|无限增大时 f(x)无限接近于某一常数A则常数A叫做函数f(x)当x时的极限记为
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“无穷大”时函数的极限
0X0当|x|X时有|f(x)A|
精确定义
结论
二、函数极限的性质
定理1(函数极限的唯一性)
定理2(函数极限的局部有界性)
如果f(x)A(xx0)那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界
定理3(函数极限的局部保号性)
如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么在x0的某一去心邻域内有f(x)0(或f(x)0)
如果当xx0时f(x)的极限存在, 那么这极限唯一
如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)而且
f(x)A(xx0)那么A0(或A0)
局部保号性的推论
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定理4(函数极限与数列极限的关系)
如果当xx0时f(x)的极限存在{xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列且满足xn x0(nN)那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛且
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结束
一、无穷小
二、无穷大
§ 无穷小与无穷大
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一、无穷小
如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小
无穷小的定义
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讨论
很小很小的数是否是无穷小?0是否为无穷小?
提示
无穷小是这样的函数在xx0(或x)的过程中极限为零很小很小的数作为常数函数在自变量的任何变化过程中其极限就是这个常数本身
注意---零是可以作为无穷小的唯一的数.