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文档介绍:该【椭圆中的焦点三角形 】是由【我是开始】上传分享,文档一共【8】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【椭圆中的焦点三角形 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。椭圆中的焦点三角形定义:椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。其中,我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形考点1有关周长和距离问题:x2y2??1F,F259FA,B例1.(08浙江)已知12为椭圆的两个焦点,过1的直线交椭圆于两点,FA?FB?12AB?若22,则x2y2??1变式(06年四川)如图把椭圆a2b2的长轴分成8等分,过每个点作x轴的垂线交椭P,P,,PPF?PF?PF?圆的上半部分于127七个点。F是椭圆的一个焦点,则127x2y2??1F,F2516PFPF变式2已知12是椭圆的左,右焦点,点P在椭圆上运动,则12的最大值是考点2有关角的问题:x2y2??194F,F?FPF例2(2000全国)椭圆的焦点为12,点P为其上的动点,当12为钝角时,点P横坐标的取值范围是x2y2??194F,F?FPF变式:椭圆的焦点为12,点P为其上的动点,当12为直角时,点P横坐标的取值范围是?FPFy性质一:当点P从右至左运动时,12由锐角变成直角,又变成钝角,过了轴之后,?FPF对称地由钝角变成直角再变成锐角,并且发现当点P与短轴端点重合时,12达到最大x2y2??1F,FC84CPF?PF变式:(2004湖南卷)12是椭圆:的焦点,在上满足12的点P的个数考点3有关离心率的问题:x2y2??1a2b2(a?b?0)F,F例3已知椭圆,的两焦点分别为12,若椭圆上存在一点P,使得?FPF120012?,求椭圆离心率e的取值范围x2y2??1a2b2(a?b?0)F,F性质二:已知椭圆方程为,的两焦点分别为12,设焦点三角形FPF?FPF?cos?12e212中,12?,则??(当且仅当动点为短轴端点时取等号)F,FMFMF?0M变式(09江西)已知12是椭圆的两个焦点,满足12的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围?S?b2tan?FPF考点4有关面积的问题:(122)(?为焦点三角形顶角)x2y2???1?P54F,F?FPF6PFF例4是椭圆上的点,12是椭圆的焦点,若12,则12的面积等于x2??y2?1?P4F,F?FPF3PFF变式:是椭圆上的点,12是椭圆的焦点,若12,则12的面积等于x2y2??1169F,FP,F,F变式:(04湖北)已知椭圆的左右焦点分别是12,点P在椭圆上,若12是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为()99997A5B3C4D4或72b2性质4过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦矩的弦),最短,通径为ax2y2(2007天津)设椭圆??1(a?b?0)的左、右焦点分别为F,F,A是椭圆上的一a2b21***,AF?FF,(Ⅰ)证明a?2b;(Ⅱ)设Q,Q为椭圆上的两个动点,OQ?OQ,过原点O作直线QQ的垂线OD,121212垂足为D,、直线方程、求曲线的方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、.(Ⅰ)证法一:由题设AF?FF及F(?c,0),F(c,0),不妨设点A(c,y),其中21212c2y2a2?b2y2y?,有??1,即???b2?解得y?,从而得到A?c,?.a?a?b2直线AF的方程为y?(x?c),整理得b2x?2acy?b2c?,原点O到直线AF的距离为OF,即?,1313b4?4a2c2将c2?a2?b2代入上式并化简得a2?2b2,即a?2b.?b2?证法二:同证法一,得到点A的坐标为?c,?.?a?BOFA过点O作OB?AF,垂足为B,易知△FBO∽△FFA,故??AF?2a,又BO?OF,1231yABFOFx121FAFA所以?2?2,3FA2a?FA12ab2b2a解得FA?,而FA?,得?,即a?(Ⅱ)解法一:设点D的坐标为(x,y).00x当y?0时,由OD?QQ知,直线QQ的斜率为?0,所以直线QQ的方程为01212y120xxx2y??0(x?x)?y,或y?kx?m,其中k??0,m?y??y?kx?m,点Q(x,y),Q(x,y)的坐标满足方程组?111222?x2?2y2?①式代入②式,得x2?2(kx?m)2?2b2,整理得(1?2k2)x2?4kmx?2m2?2b2?0,4km2m2?2b于是x?x??,xx?.121?2k2121?2k2由①式得yy?(kx?m)(kx?m)?k2xx?km(x?x)?k2121212122m2?2b2?4kmm2?2b2k2?k2·?km·?m2?.1?2k21?2k1?2k23m2?2b2?2b2k2由OQ?OQ知xx?yy?③式和④式代入得?0,1212121?2k23m2?2b2(1?k2).xx22将k??0,m?y?0代入上式,整理得x2?y2??0时,直线QQ的方程为x?x,Q(x,y),Q(x,y)的坐标满足方程组0120111222?x?x,?0?x2?2y2??x2所以x?x?x,y??,222b2?x2由OQ?OQ知xx?yy?0,即x2?0?0,121212022解得x2?,点D的坐标仍满足x2?y2?,点D的轨迹方程为x2?y2?:设点D的坐标为(x,y),直线OD的方程为yx?xy?0,由OD?QQ,000012垂足为D,可知直线QQ的方程为xx?yy?x2??x2?y2(显然m?0),点Q(x,y),Q(x,y)的坐标满足方程组00111222??xx?yy?m,①?00??x2?2y2?2b2.②由①式得yy?m?xx.③00由②式得y2x2?2y2y2?2y2b2.④000将③式代入④式得y2x2?2(m?xx)2?(2x2?y2)x2?4mxx?2m2?2b2y2?0,00002m2?2b2y2于是xx?0.⑤122x2?y200由①式得xx?m?yy.⑥00