文档介绍：§4 最大公因式
§5 因式分解
§6 重因式
§10 多元多项式
§11 对称多项式
§3 整除的概念
§2 一元多项式
§1 数环和数域
§7 多项式函数
§9 有理系数多项式
§8 复、实系数多项式
的因式分解
第一章多项式
§ 数环和数域
研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围,学****数学也是如此。
比如,先学****自然数,然后整数,再正有理数、有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根的情况,都跟数的范围有关。
例如
在有理数范围内不能分解,在实数范围内
就可以分解。
在实数范围内没有根,在复数范围内就
有根。等等。
我们目前学****的解析几何,数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中,通常不做这样的限制。
在代数中,我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算(即代数运算)是否还在这个集合之中
代数运算:设A是一个非空集合,定义在A上的一个代数运算
是指存在一个法则,它使A中任意两个元素
都有A中一个元素与之对应。
(即运算是否封闭)。
运算封闭:如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在
这个集合中,则称该集合对这个运算封闭。
例如两个整数的和、差、积仍是整数,但两个整数的商就不一定是整数,这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭,但对除法并不封闭;而有理数集对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭。同样,实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。
根据数对运算的封闭情况,我们把数集分为两类:数环和数域。
一、数环
设S是由一些复数组成的一个非空集合,
如果对
,总有
则称S是一个数环。
整数集Z,有理数集Q,实数集R,复数集
C都是数环。
例如:
1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环?
问题:
2、有没有最小的数环?
例1:设a是一个确定的整数。令
定义1:
则S是一个数环。
证明:
,
则,
那么
证明S是一个整环.
说明:在例1中,如果
,那么S就是全体
偶数组成的
数环特别若
时,那么
是由
单独一个数0组成的数环.
这是最小的数环,称为零环。
命题1 设S是一个非空数集,S是数环的充
要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。
二、数域
定义2:
设P是一个含有不等零的数的数集,如果P
定义
:
设P是一个数环,如果
① P内含有一个非
零数; ②对
且
,则
则称P是一个数域。
有理数集Q,实数集R,复数集C都是数域,
例如:
则称P是一个数域。
中任两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍在P中,
且是三个最重要的数域。
问题:
6、数域与数环之间有什么关系?例2中的数
集是不是数域?
7、除了Q、R、C外,是否还有其他的数域?
例3:证明
是一个数域。
证明要点:
设
(否则当
矛盾;
当
,也矛盾)。于是
先证
有一个非零元
对加、减、乘封闭。再证除法封闭:
,
8、一个数域必包含哪两个元素?
问题:
9、最小的数域是什么?
命题2:任何数域都包含有理数域Q。
证明:设P是一个数域,则
于是
对
故
10、在判断一个数集是不是数域时,实际上
问题:
要检验几种运算?
,证明:若P中任
意两个数的差与商(除数≠0)仍属于P,则P为一
一个数域.
有
证:由题设任取
所以,P是一个数域.
时,
时,