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文档介绍:该【初中数学继续教育作业2】是由【鼠标】上传分享,文档一共【8】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【初中数学继续教育作业2】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。初中数学继续教育作业?一、专题一“数学探究选讲--杜玲玲”的作业:课后“练习与思考”的6个小题。???????8?18?,,?,,S为其前n项和,计算得12?3232?52(2n?1)2(2n?1)2n8244880S?,S?,S?,S?,观察上述结果,猜测计算S的公式,并用数学归**********n纳法加以证明。?(2n?1)2?1解:∵分母依次是3,5,7,9的平方数,分子比分母小1,由此猜想S=.证明如下:?n(2n?1)232?18(1)当n=1时,S=?,等式成立;?1329(2)设当n=k时,等式成立,?(2k?1)2?1即S=.?k(2k?1)28(k?1)则S+1=S+?kk(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2?18(k?1)=??(2k?1)2(2k?1)2(2k?3)2?(21)21?(23)28(1)=k??k??k??(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2(2k?3)2?(2k?3)2?8(k?1)=?(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)2=?(2k?1)2(2k?3)2(2k?3)2?1?2(k?1)?1?2?1=?,?(2k?3)2?2(k?1)?1?2即当n=k+1时,等式也成立.?根据(1)、(2),可知等式对任何n∈N*都成立.?评注:数学归纳法通常用来证明与正整数有关的命题,它属于完全归纳法,有两个基本??步骤:?第一步是起始步,证明当n取第一个值n0(n0是使结论成立的最小的正整数)时,结论正确;?*第二步是假设步,假设n=k(k∈N,且k≥n0)时结论正确,证明n=k+1时,结论也正确.?其中第一步是递推的基础,第二是递推的依据,两者相辅相成,,它们要平均分配,第一个猴子来了,它把苹果平均分成五堆还剩下一个,然后把剩下的一个苹果扔到海里,自己拿走一堆;第二个猴子来了,它把苹果分成五堆,又多一个,它把多出的一个苹果也扔到海里,拿走了一堆,以后每个猴子来了都照此办理,问原来至少有多少苹果?最后至少有多少苹果??解:?设最初的苹果个数是?X?,经过?5?轮分配后剩下的苹果个数是?Y?。则有方程式;((((X-1)*4/5-1)*4/5-1)*4/5-1)*4/5-1)*。4/?5=Y?n??+化简后得到???1024?X?-?8404?=?31。25,??9Yc???Q`A?问题是要求这个方程的整数解。学中?国?nh?容易看出,如果?X=X0?,Y=Y0?是这个方程的一组特解,那么,这个方程的任何一组整数解都可以表示成下列形式:?m?J+O?X=3125*k+0X?,Y=1024*k+0Y?(其中?k?是任何整数)。R=vPm??sf`?从楼上的分析,我们发现?X=-4?,Y=-4?是这个方程的一组特解,所以,这个方程的一般解可以表示为'--?数学中国??O?X=3125*k-4,?Y=1024*k-4(?其中?k?是任何整数)。A{??Z9#?特别,k=1?时,就有?X=3121,?Y=1020。?3?方法2:先借他们4只苹果,那么第一只猴子将苹果恰分作五份拿走一堆(其实这一堆也就是先前他拿的一堆加一个),剩下那四堆各取出一个第二只猴子来分苹果,将四只苹果又放进去,因为原本多一个苹果,就可以平分成……??答案就是5*5*5*5*5-4=3121?这个是最小值??第一只猴子扔掉一个剩3120?拿走624?剩2496??第二只猴子扔掉一个剩2495?拿走499?剩1996??第三只猴子扔掉一个剩1995?拿走399?剩1596??第四只猴子扔掉一个剩1595?拿走319?剩1276??第五只猴子扔掉一个剩1275?拿走255?剩1020??(a,b)?(a?b)2?(3?a2?b2?4)2的极小值。?2设a=x1,√(3-a^2)=y1,则x1^2+y1^2=3.??设b=x2,-1/2*√(b^2-4)=y2,则(x2^2)/4-y2^2=1(y2<=0)??A(x1,y1),B(x2,y2)??则f(a,b)=|AB|^2??题目转化为求圆x^2+y^2=3上的动点A与双曲线x^2/4-y^2=1(x轴下方)上动点B之间的距离的最小值.??数形结合可知,极小值为(2-√3)^2.??(=(a-b)^2+1/2√(b^2-4)+√(3-a^2)?dc/da=2a-2b-a/√(3-a^2)?dc/db=2b-2a+b/2√(b^2-4)?方程组??{2a-2b-a/√(3-a^2)???????????????2b-2a+b/2√(b^2-4)?解吧,再代到(a-b)^2+1/2√(b^2-4)+√(3-a^2)???4.?一位老师,他想试试三位聪明的学生哪一个更聪明一些,他先准备好5顶帽子,其中3顶白的,2顶黑的,然后让学生看清楚,再要他们闭上眼睛,闭上之后给他们都戴上白帽子,并把两顶黑帽子藏起来,最后让学生睁开眼睛,并请他们回答自己戴的是什么颜色的帽子。三个学生睁开眼睛后互相看了看,并且都犹豫了一会,然后三个聪明的学生异口同声回答:自己头上戴的是白色的帽子。怎样解答这个问题呢??答:甲看到了乙和丙头上都戴着白色的帽子,这时候如果只从自己的角度考虑问题,那么无法得出确切的结论来。要想胜出,甲就必须在思维上有一个跳跃,去揣摩乙和丙的心理,判断他们可能采取的行动t:7?。??甲看到乙和丙都戴了白帽子,甲就想,如果自己戴了黑帽子,那么丙就看到一白一黑两顶帽子;那么丙马上可以想到,如果自己戴的是黑帽子,也就意味着乙看到了两顶黑帽子,乙马上就能知道自己戴了白帽子并立刻欢天喜欢地说出来;但乙并没有马上说出来,也犹豫了一会,这说明丙戴的一定是白帽子。话讲到这一步,答案已经出来了,就是在僵持中,甲能独立判断出自己不可能戴黑色帽子,乙和丙也做到?了。解答:每个人都看到另两个人戴的白帽子?1、一个人设想自己可能戴白也可能黑,当自己戴黑的时候,另两人看到的是一黑一白?2、第二人也会假设自己戴黑或戴白,假设自己戴黑时,第三人一定会猜出自己戴白,但是没有,所以第二人和第三人都可以确定他们戴的是白。?3、但是第二人和第三人都没有猜自己带的是白,所以第一人推断出自己戴的不是黑?4、每个人都按这种思路去推断。??:若在?ABC之外作两个正方形ABEF和ACGH,则?ABC的BC边上的高AD必平分FH。???题??在??ABC?之外作两个正方形?ABEF?和?ACGH?,证明??ABC?的?BC?边上的高必平分?FH?。?证??如图,作平行四边形?FAHI?,连接IA,延长?IA?与?BC?交于一点?D?。?????因为平行四边形的对角线互相平分,所以?IA?平分?FH?。?????下面证明?IAD?是??ABC?的?BC?边上的高。在??IHA?和??BAC?中,因为?IH?FA?BA,HA?AC,??IHA?180o??FAH?360o?90o?90o??FAH??CAB,?所以??IHA??BAC?,所以??HAI??ACD?,所以??ADC?180o??DAC??ACD?180o?(180o?90o??HAI)??HAI?90o?,?即有?AD?BC,IAD?是??ABC?的?BC?边上的高。????因为高是唯一的,所以??ABC?的?BC?边上的高必平分?FH?。???:如果所有周长相等的平面图形中存在面积最大的图形,则这个图形必定是圆。??我首先要证明,面积最大的图形满足一个性质:一条平分周长的直线(暂且把它叫做周长平分线),一定也平分面积。因为,如果不平分面积的话,那么我总可以把面积较大的那块翻到另一边去,使得周长不变,而面积增大(如左图,红色曲线围成的面积大于蓝色曲线。)好了,接下来,我要再证明面积最大的图形满足第二条性质:周长平分线与曲线的两个交点和曲线上任意一点构成的三角形,必然是直角三角形。因为,如果它不是直角三角形,我可以把他拉伸或压缩一下,使它成为直角三角形,这样新三角形的面积大于原三角形的面积(证明省略,主要使用S=absinθ/2),而图形其他部分面积不变,这样面积就扩大了。因此,面积最大的图形满足上述两条性质,我们就不难推出它是圆了??在同样周长的平面图形中,圆的面积最大??定理1??在同样边长的四边形中,圆内接四边形的面积最大?。设已知四边形?ABCD?中,AB?a,BC?b,CD?c,DA?d。则当且仅当四边形?ABCD?内接于一个圆时,它的面积达到最大值。??证??设?ABC??,?CDA??,四边形?ABCD?的面积11S?S?S?absin??cdsin??。??ABC?CDA22??由余弦定理可知?a2?b2?2abcos??c2?d2?2cdcos??。?即有?111(a2?b2?c2?d2)?abcos??cdcos??。?422所以?1S2?(a2?b2?c2?d2)2?16?11?2?11?2??absin??cdsin????abcos??cdcos????22??22?1?[a2b2?2abcdcos(???)?c2d2],?4即有?11S2?[a2b2?2abcdcos(???)?c2d2]?(a2?b2?c2?d2)2。?416因为??1?cos(???)?1?,容易看出,当且仅当???????,即A,B,C,D四点共圆时,这时?cos(???)??1?,四边形?ABCD?的面积?S?达到最大。??定理2???在同样边长的多边形中,圆内接多边形的面积最大?。设多边形?AA?A?各边的长度都已经给定,如果多边形?AA?A?的面积达到12n12n最大值,那么它必定内接于一个圆。??证??首先证明:在这个多边形中,任何依次连接的四个顶点,必定在同一个圆上。??,,,????不妨设这四个顶点是A1A2A3A4。连接A1A4,使A1A4的长度固定。假设,,,??,???A1A2A3A4不在同一个圆上,则可以调整A2A3的位置,使得四边形A1A2A3A4内接于一个圆。在定理1中,已经证明了:当且仅当四边形内接于一个圆时,它的面积达到最??大值。所以,调整后、内接于圆的四边形A1A2A3A4的面积,总是要大于未调整前的四边形?AAAA?的面积,这就与多边形?AA?A?的面积达到最大值发生矛盾,所以,123412n,,,?A1A2A3A4必定在同一个圆上。依此类推,可知任何依次连接的四个顶点,必定在同一个圆上。??,,,??,,?由于A1A2A3A4四点共圆,这个圆就是过A2A3A4三点所作的圆,同时,,,,??,,?A2A3A4A5四点也共圆,这个圆也是过A2A3A4三点所作的圆,由此可见,A,A,A,A,A?五点都在同一个圆上。依此类推,就可以证明多边形?AA?A?内接1234512n于一个圆。??定理3??在同样周长的平面图形中,圆的面积最大?。??证??任何平面图形,都可以将它的周长平均分为n小段,当?n???时,每一小段都可以看作是一条线段,这个平面图形可以看作是一个?n???的n边形。?????由定理2?可知,当周长给定时,n边形的面积要达到最大,它必须内接于一个圆,由于各边长度相等,所以它是一个圆内接正n边形。又因为?n??,当?n???时,圆内接正n边形的极限是一个圆,由此可见,任何平面图形的面积要达到最大,它必须是一个圆。???二、专题二“数学发展史与数学教育--林永伟”的作业:?,你认为应如何更好地进行分数的教学??答:“分数”一词的解释大体一致,那就是“被分割的数”。根据文字含义,结合具体的情境,把一个物体或一个图形平均分成若干份,其中的一份或几份可以用分数表示来认识分数,并能用实际操作的结果表示相应的分数,能读、写简单的分数。然后在进一步研究分数的运算法则。????从一元二次方程的来源可以一看出:据考证,古巴比伦的楔形文献中就记有相当于的一元二次方程的实例和解法。?古希腊数学家海伦(Heron,约公元75年)曾给出这样的问题“给定一正方形,知其面积与周长之和为896尺(应该是平方尺),求其一边。?《九章算术》第九章勾股章第二十题:“今有邑方不知大小,各中开门,出北门二十步有木,出南门十四步,折而西行一千七百七十五步见木,问邑方几何”.也是一个一元二次方程问题。在阿拉伯人那里,有关一元二次方程的问题逐渐被剥离去了实际的内容,而变成“纯数字的游戏”。?3.?已知三边求三角形面积,在历史上曾经有哪几种典型的方法,它们各具有什么特色??答:已知三边求三角形面积,在历史上曾经有三种典型的方法:?①海伦公式:海伦(Heron,约100年)在他的著作《测量学》给出了三角形面积公式△=?,并在其他著作(如《经纬仪》、《度量》)中给予了证明。对这一公式的证明,海伦是采用几何演绎的角度来完成的。?②?印度数学家婆什迦罗(1114~1185)在《丽罗瓦提》(Lilavati嬉有章)中作出三角形曲积的求法,他的作法是从几何代数的角度。??③?1247年南宋秦九韶在《数书九章》中讨论了“已知三角形三边求它的面积”这一问题。并给出了相当于现代数学公式的结果:△?=?,但这一公式来历不明,其证明方法早已失传,后人的猜测趋同于“出入相补原理”。其中用到刘徽公式:?(a,b,c分别为直角三角形的股,勾,弦?),这是从几何变换的角度来完成的。???“勾股定理”名称的演化过程。?答:商高最早对勾股定理给予了解释,同时用来解决实际问题,所以称为“商高定理”。然后《周髀算经》记载了陈子(在周公之后)用勾股定理推算地球与太阳的距离以及太阳的直径,因而又叫“陈子定理”。最后,人们对之俗称为“勾股弦定理”,后来则慢慢地简化成“勾股定理”。?,却能解决高深的几何测量问题的原因。?答:按照现代数学的观点,几何测量理论的建立,需要以下三方面要素的支持,一为角的度量,二是平行原理,三为相似理论。但是中国古代数学在这三方面几乎是一片空白。尽管如此,中国古代数学的几何测量却取得了辉煌的成就,其中的奥妙就在于,“中算家”们引用了一套既简单直观,又巧妙独特,且行之有效的方法——中国的测量术:?(1)?中国式的相似理论?——?勾股不失本率:这一方法被称为“勾股容方术”,按现在的话说是,相似三角形的对应边成比例。?(2)?三点共线?——?参直法?以“不失本率”原理和“参直法”作为几何测量的基本方法可以解决一般的测量问题。(3)?有效的测量工具?——?立表法和连索法?因立四个等距的“表”,可构成一个正方形,使问题的解决变得更为容易,故连索表以立四表最为常见。?(4)?高明的测量方法?——?重差术??????????刘徽在《九章算术·注释》的序言中指出:“凡望极高、测绝深而兼知其远者,必用重差。”?即目标“极高”、“绝深”?等不能靠近进行实际测量时,必须用两次(或两次以上)测量的方法加以实现。并且为了进一步说明问题,而著《海岛算经》给出几何测量更加高深但实用的方法,即“度高者重表,测深者累矩,孤离者三望,离而又旁求者四望。”??作业要求:;?,再由组长统一交教研室杨龙江老师?。