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《高等数学》备课笔记
安徽省商贸职业技术学院基础部
叶迎春
第一章 函数、极限与连续
函数是微积分学研究的主要对象。本章在复习与补充函数相关知识的基础上，
介绍了函数的三种分类方法。
理解函数、基本初等函数、复合函数、初等函数等概念，掌握函数的基本性
质，理解连续函数和可微函数的概念。
函数和复合函数的概念，连续函数和可微函数的概念。
连续函数和可微函数的概念。
4课时
解析法 表示法 表格法
图像法
对应法则
值
域
一对一 xfy 几对一
一对一
几对一
１．分式，分母必须不等于零；
２．偶次根式，被开方式必须大于等于零； 定义域 ３．对数，真数必须大于零；
, ４．正切符号下的式子必须不等于k,，（k,Z）， 2
余切符号下的式子必须不等于k,（k,Z）；
５．反正弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1，
反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1； ６．表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它 们的交集；
７．分段函数的定义域为各段落有意义区域的并集。
求下列函数的定义域.
函数 函数有定义的条件 定义域
22(,,,,4]:[4,，,) x,16,0 f(x),x,16
(,2,3) 13,x,0,f(x),，ln(2x，4) ,3,x2x，4,0,
[,3,1] 1，x1，x,1,,1f(x),arcsin 22
2(,,,0):(0,，,) x,0x,0或 ,xx,0f(x), ,x3,0,
1
2求函数值．
函数值 f(2)f(a)f(x，1)1 f(,)函数 x
21111x ，，fx, 22221，x51，ax，2x，21，x
有界性 一般地，在区间内是有界的函数有：，(,,,，,)y,sinx
，，等。 y,arctanxy,arccotxy,cosx
42 奇偶性 例如，函数是偶函数，f(x),x,3x，5
即非奇函数，也非偶函数，，，fx,4x，cosx
1,xx是奇函数。 ，，fx,，，e,e2函 2 单调性 例如，函数数 y,x在区间［0,，,)上是单调增加的，在区
性 间(,,,0］上是单调减少的。
质 周期性 例如，函数都是以为周期的周期函2,y,sinx,y,cosx
数，,都是以为周期的周期函数。 y,tanx,y,cotx
3．复合函数
中间变
量
u
f 自变量 y,f[,(x)] , xy 若，，u,,x的值域或其部
分包含在，，y,fu的定义 域中
例如， 已知
u2u2y,eu,5，xy,eu,5，x(,,,，,)，，由于的定义域，的值
22u5，x域u,5，xy,e[5,，,)，所以将代入得它们组成的复合函数． y,e
3 指出下列复合函数是由那些简单函数复合而成的。
函数 复合过程
y,sinu,u,5x，4 ，，y,sin5x，4
y,lnlnxy,lnu,u,v,v,lnx
4．初等函数
2
首先，介绍基本初等函数。函数
（1）； y,c
,,y,x（2）（为任意实数）
x（3）y,a，， a,0,a,1
（4），， y,logxa,0,a,1a
（5），，，，， y,sinxy,tanxy,cotxy,cosxy,secxy,cscx
（6），，， y,arcsinxy,arctanxy,arccotxy,arccosx
统称为基本初等函数，它们是微积分中所研究对象的基础，应很好地掌握它的
定义域、值域、图象和性质。
常数1．偶函数； y,c (,,,，,)函数 2．有界。
,,0
1．图象都过和(0,0)
点； (1,1)
2．在内单调[0,，,)
增加。
幂 ,,,,y,xy,x （值的不同，随0 函 为任意实数） 的定义域也不同 数
1．图象都过点； (1,1)
2．在(0,，,)内单调
减少。
a,1 x1．全部图象在轴上
方；
2．图象都过(0,1)
点；
3．函数单调增加。 xy,a 指数(,,,，,) 函数 0,a,1 ，，a,0,a,1 x1．全部图象在轴上
方；
(0,1)2．图象都过
点；
3．函数单调减少。
3
轴右1．全部图象在y a,1
侧；
2．图象都过(1,0)点；
3．函数单调增加。
y,logx对数轴右1．全部图象在ay 0,a,1 (0,，,)函数 侧； ，， a,0,a,1
2．图象都过(1,0)点；
3．函数单调减少。
1．奇函数；
2．周期； T,2,
3．有界；
,,，，4．在2k,,2k,,，，正弦,,22 y,sinx(,,,，,)，，函数 上单调增加；
,,3，，在2,k,2k,，，,,22，，上单调减少。
1．偶函数；
； 2．周期T,2,
3．有界；
4．在余弦y,cosx(,,,，,) [(2k,1),,2k,] 上单函数
调增加；
[2k,,(2k，1),]在上单调减少。
1．奇函数；
； 2．周期T,,,正切,, y,tanx,,,,xx,k,，,k,z 3．在k,,k,,，，函数 ,,222,,上单调增加。
1．奇函数；
； 2．周期T,,余切y,cotx ,,xx,kz,k,z 函数 (kz,(k，1)z)3．在上 单调减少。
4
反正1．奇函数；
2．有界； 弦函y,arcsinx[,1,1]
3．单调增加。 数
反余1．有界； y,arccosx弦函 [,1,1]2．单调减少。 数
反正1．奇函数；
y,arctanx切函2．有界； (,,,，,) 数 3．单调增加。
反余1．有界； y,arccotx切函(,,,，,) 2．单调减少。 数
由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算所构成，并可
用一个式子表示的函数叫。
初等函数里一些概念之间的关系可用图表说明如下：
5
表达式 定义域 图形 性质
三 反 角常 三 函 角 数 函 数对 量 幂 数 指 数 函 数 函 数 函 数 有限次复合步骤 有限次四则运算 基本初等函数 数
不
清
初等函数
（用一个式子表示）
本部分内容主要介绍函数的三种分类方法。第一种方法是根据它们是否是
连续函数进行分类；第二种方法是依据它们是否保留实数运算的代数结构进行
分类；第三种方法是根据它们是否是可微函数进行分类。 1
如果一个函数将“邻近”的点仍变换成“邻近”的点，我们就称该函数为
连续函数。
设变量xxx从它的一个初值变到一个终值，记 01
,y,f(x，,x),f(x),x,x,x00 10
x的改变量 的改变量 y
我们有：
函数xy,f(x)在点 f(x) 0函数lim,y,0 ,x,0的某个邻域内有定义 连续 在点x处 0
4
题目 解答
用定义证明函数x,1f(x),2x，1在点的任一邻域内有定义，且 因为函数
,y,f(1，,x),f(1),2(1，,x)，1,3,2,x
f(x),2x，1 显然， lim,y,lim2,x,0,x,0,x,0在点x,1处连续 所以函数f(x),2x，1x,1在点处连续。
6
一般地，
limf(x),f(x)0，x,x0 在 f(x)函数 处有定义 x 0
函数右连续 f(x) 连续 存limf(x)在点 x,x0 处 x在 0 左连续 limf(x),f(x)0 x,x0 limf(x),f(x) 0,x,x0x称为函数 0
的连续点 f(x)
5
题目 解答
讨论函数
在点x,1的任一邻域内有定f(x),2x，1因为函数
f(x),2x，1义，且
在点处的连续性。 x,1 lim(2x，1),3,f(1)x,1
所以，函数f(x),2x，1在点x,1处连续。
cosx,x,0,,x，2,6已知 f(x),,a,a,x,,，，x,0a,0,x,
求（1）f(2)
（2）函数的定义域
（3）当ax,0为何值时，极限存在，此时，f(x)在处是否连续？ limf(x)x,0
,xcos（1） f(),,0,x2，22
（2）函数的定义域为
(,,,0),[0,，,),(,,,，,)，
a,a,x(a,a,x)(a，a,x)（3）由于limf(x),lim,lim ,,,x,0x,0x,0xx(a，a,x)
11,lim,. ,x,0aaxa，,2
cosx1lim(),lim,.fx ，，x,0x,0x，22
7
当时，，存在。 a,1limf(x),limf(x)limf(x),，x,0x,0x,0
1由于当时，，故在处连续。 limf(x),,f(0)a,1x,0f(x)x,02
2
设函数a,b,,,R，如果对任意的，满足 f:R,R
（1） f(a，b),f(a)，f(b)
（2） f(,a),,f(a)
我们称为线性函数。 f
例如，函数是线性函数，与f(x),kx(k,f(1))f(x),kx，b(b,0)
xf(x),e不是线性函数。
线性函数的图象是通过原点的直线，其斜率为，且所有线性函数都是f(1)连续函数，因此，简单易处理的线性函数在经济研究中非常受欢迎。然而，有
很多函数不是线性函数，这就需要解决非线性函数的线性近似的问题。这里有
两个问题需要回答：
（1） 在什么条件下，一个从到的函数可以线性近似？ RR
（2） 如果可以线性近似，如何找到这一线性函数？
微积分研究的正是非线性函数的线性近似问题。 3
观察余弦函数，当纵轴向右
,平移，得到新的图形中的虚线 2
就代表了线性函数， f(x),,x
它似乎很好地近似了余弦函数。
对余弦函数的观察使我们认识到，不可能任意的函数都存在相应的线性函
数，但在定义域的局部近似一个函数是可能的，微分学正是用来局部分析非线
性函数的线性近似问题。下面介绍导数与微分的概念。
设函数xxy,f(x)在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改00
变量,y,f(x，,x),f(x),x(,0)时，函数f(x)取得相应的改变量。如果当00
,x,0时，
()()fx，,x,fx,y00lim,lim 00,x,,x,,x,x存在，则称此极限值为函数xy,f(x)在点处的导数，记作 0
dydf,,f(x)y，或，或，或 0x,xx,xx,x000dxdx
,y并称函数limxxf(x)f(x)在点处可导；如果不存在，则称函数在点处不00,x,0,x
可导.
设函数,f(x),xxxy,f(x)f(x)在点处可导，则称为000
，记作，即 dy|x,xo
,dy|,f(x),x x,x00
8
并称函数在点处。 xf(x)0
如果函数,xx在处可导，则称为函数在处的微分，简y,f(x)f(x),xf(x)称函数的的微分。记作
,,或 dy,f(x),xdf(x),f(x),x
因此，是一个线性函数，且在点处与函数有相xdf(x):R,Rf:R,R0同的斜率，它近似于函数，从而解决了非线性函数的线性近似f(x，,x),f(x)
问题。
对微分，显然,x，即，这就是说，自变量的微分dx,(x),x,,xdx,,xdx
就是它的改变量，因此，微分记号中可用代替，即 ,xdx,x
,,或 dy,f(x)dxdf(x),f(x)dx于是
dy,,f(x) dx
这就表明了函数的微分与导数的关系，即函数的导数等于函数的微分与自
变量的微分之商，所以导数又称，而函数的微分则等于函数的导数与自变
量的微分之积。
应当注意，微分与导数是两个不同的概念。导数是函数在点x处的变化率，而微分是函数在点x处由自变量的增量,x所引起的函数的增量的主要,y部分；导数值只与自变量xx有关，而微分值不仅与有关，也与有关。导数,x与微分又是密切相关的，可导函数一定可微，可微函数也一定可导。
从上面可以看出，非线性函数的线性近似的关健要掌握导数的计算，但用
导数的定义求函数的导数，通常比较麻烦或不太可行。为了方便起见，我们直
接给出基本初等函数的导数公式。
1．常数函数的导数 ,c （为常数） (c),0
,,,12．幂函数的导数 ,(x),,x
1112 特别地 ,,(x),2x(),,，， ,(x),2xx2x
xx3．指数函数的导数 ,(a),alna