2011全国高中数学竞赛不等式试题.doc

文档介绍：2011全国高中数学竞赛不等式试题
3、不等式>0的解集是( )
A.[2,3] B。(2,3) C。[2,4] D。(2,4)
[答案]3、解:原不等式等价于
设 解得。
即。故选C。


2003年全国高中数学联赛(第一试)

9. 已知
若,则实数的取值范围是_____________.
13. 设证明不等式
[答案]7. . 提示: 原不等式可以化为:
9.
提示:,令,,则只需在(1,3)上的图象均在x轴的下方,其充要条件是,由此推出;
13.
证明:由可得
当且仅当a=b=c=d时取等号……5分
则
……………………………………………………15分
因为不能同时相等,所以
……………………………………20分
2001年全国高中数学联赛试卷
∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是( )
(A)k=(B)0<k≤12 (C) k≥12(D) 0<k≤12或k=

,而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是( )
(A) 2枝玫瑰价格高(B) 3枝康乃馨价格高
(C) 价格相同(D) 不确定.
10. 不等式的解集为.

[答案]. 10. 11.
2000年全国高中数学联赛(第一试)
,且对任意都有
若,则.
,则的最小值是.
.
[答案]10. 解:由,得,所以
即,
∴
∴
即是周期为1的周期函数,又,故
11. 解:
由对称性只考虑,因为,所以只须求的最小值.
令公代入,有.
这是一个关于的二次方程显然有实根,故,∴
当,时,.故的最小值为
12. 解:原不等式可化为
∵,,
∴当时,函数有最大值,
从而有,整理得
∴或,又,∴
1999年全国高中数学联合竞赛三、(满分20分)已知当xÎ[0,1]时,不等式恒成立,试求的取值范围.
[答案]13. 若对一切xÎ[0,1],恒有f(x)= ,
则 cosθ=f(1)>0, sinθ=f(0)>0. (1)
取xÎ (0,1),由于,
所以,恒成立,当且仅当(2 )
先在[0,2π]中解(1)与(2):由cosθ>0,sinθ>0,可得0<θ<.
又由(2)得 sin2θ> 注意到0<2θ<π,故有<2θ< ,
所以,
<θ< .
因此,原题中θ的取值范围是2kπ+<θ<2kπ+ ,kÎZ.
或解:若对一切x∈[0,1],恒有
f(x)=x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0,
则cosθ=f(1)>0,sinθ=f(0)>0. (1)
取 x0= ∈(0,1),则.
由于+2x(1-x),
所以,0<f(x0)=2x0(1-x0) .
故-+>0 (2)
反之,当(1),(2)成立时,f(0)=sinθ>0,f(1)=cosθ>0,且x∈(0,1)时,f(x)≥2x(1-x)>0.
先在[0,2π]中解(1)与(2):